5.随机变量及其分布

2026年8月14日星期五·#概率论概率论·2826 字 14 分钟·

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0.引言#

在很多试验中，处理一个汇总的变量要比处理原来的概率结构方便的多。例如在一次幻想乡民意调查大会中，我们调查个妖精对某个异变的态度是支持态度还是反对态度。

那么按照古典概型的处理方式，所有可能的结果有个，这是非常大的一个数字，显然一个一个列出是并不现实的。但是如果我们用 ，则的可能取值为，由于的取值现在无法确定, 所以称是随机变量 (random variable).这样处理起来就比原来的概率结构要方便多了!

为了更深入地研究随机现象, 就要建立数学模型，随机变量是随机现象的最基本的数学模型，我们用随机变量的值表示随机试验的结果。

1.随机变量#

假设我们随机投了两枚骰子，根据两个骰子的点数和决定某个事情，显然样本空间为：

Ω=\left \{ (ω_1,ω_2):ω_1,ω_2∈\left \{1，2，3，4，5，6\right \})\right \}

但是我们实际上其实只对点数和感兴趣，即对函数的值感兴趣：

S(ω_1,ω_2)=ω_1+ω_2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(ω_1,ω_2)∈Ω

的可能值可以通过下表得到：

我们记事件：

\left \{ S=k\right \}=\left \{ (ω_1,ω_2)∈Ω：\;\;ω_1+ω_2=k\right \}

以及其概率为。由若我们是根据两个骰子的最大值决定，则映射：

M(ω_1,ω_2)=max\left \{ω_1,ω_2\right \}，\;\;(ω_1,ω_2)∈Ω

类似可以由上表定出由 M 决定的事件及概率，像是的函数，我们称其为离散型随机变量(Discrete Random Variable)

定义

对于一个随机变量(Random Variable) ，是定义在样本空间的一个实值函数 ：对每一个样本点，是一个实数。

具体地讲，称样本空间到实数轴的一个映射：为随机变量，而且如果对任意的：

\left \{ω：X(ω)<x\right \}∈\mathcal{F}

则经常简写为。

Notice ：在概率论和数理统计学中, 人们习惯用大写的等表示随机变量. 不够时还可以用等表示.

1.1 随机变量的事件#

我们用 , 或更简单地用表示事件：

\left \{ω|X(ω)≤x\right \}

于是：

\left \{ X ∈ A\right \} =\left \{ ω | X(ω) ∈ A\right \}

\left \{ a < X ≤ b\right \} =\left \{ ω | a < X(ω) ≤ b\right \}.

注: 这里和以后所述的数集都是高等数学中的实数的 (可测) 集合, 并且对数集 , 承认是事件.

1.1 随机变量的分布函数#

定义

设为随机变量，我们称：

F(x)=P(X≤x)，for\;all\;x∈\mathbb{R}

为随机变量的**(累积)分布函数(CDF,Cunulative Distribution Function)**

例如，投掷三枚硬币，令正面向上的个数，则的分布函数为：

F(x)=\left\{\begin{matrix}0，若 -∞<x<0 \\\frac{1}{8}，若0≤x<1 \\\frac{1}{2}，若1≤x<2 \\\frac{7}{8}，若2≤x<3 \\1，若3≤x<∞ \end{matrix}\right.

显然分布函数满足：

①：和
②： 是一个非降的函数
③： 是一个右连续的函数，即对任意的有

2.离散型随机变量#

定义

设为随机变量，如果随机变量 只取有限个值 , 或可列个值 , 就称是离散型随机变量, 简称为离散随机变量 (discrete random variable).

以下就取可列个值的情况加以表述, 对于取有限个值的情况可类似的表述.

2.1 分布列#

定义

设为随机变量，称

P(X=x_k)=p_k，\;k≥1

为 X 的概率分布(probability distribution)。称是概率分布列，简称为分布列(distribution sequence).

有些变量只能取有限个或可列个值，比如，被访问者的性别、年龄、职业，一批产品中次品个数，一个医学试样中白细胞个数，掷两个骰子第一次得到 12 点的时间，等等

设函数取值于 , ，称为随机变量的概率质量函数 (PMF, probability mass function)。

当分布列的规律性不够明显时, 也常常用如下的方式表达概率分布：

\begin{array}{c|ccccc} X & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots \\ \hline P & p_1 & p_2 & p_3 & \cdots \\ \end{array}

此外，也可以表述为：

\begin{pmatrix}x_1 &x_1 &...\\p_1 &p_2 &... \end{pmatrix}

这也被称为密度阵。

分布列有如下性质：

①：
②：
③：

2.2 离散型随机变量的常见分布#

2.2.1 伯努利分布(Bernoulli 分布)#

伯努利分布（又称 两点分布 或 0-1 分布）是最简单的离散型概率分布，用来描述只有两种可能结果（成功或失败、发生或不发生）的单次随机试验。

对于一离散型随机变量 ，如果只取值或，且概率分布是：

\begin{array}{c|ccccc} X & 1 & 0 \\ \hline P & p & q \\ \end{array}\;\;\;，p+q=1

就称服从伯努利分布，记作：或

任何只考虑成功与否的试验都可以用两点分布的随机变量描述：

X=\left\{\begin{matrix}1，试验成功 \\ 0，试验不成功 \end{matrix}\right.

2.2.2 二项分布(Binomial 分布)#

定义

若一个随机试验只有两个可能的结果 和，则称这个随机试验为伯努利试验，记，将这个试验独立的重复次，则称这一串独立的试验为 重伯努利试验。

在重伯努利试验中，若以表示成功的次数（即随机事件发生的次数），则为一离散型随机变量。易知的概率函数为：

P(X=k)={n \choose k}p^k (1-p)^{n-k} =C_{n}^{k}p^k q^{n-k}\;\;\;\;\;\;k=0,1...

称此概率分布为二项分布，并称服从二项分布，记为。称为二项分布的原因是为二项展开式。

2.2.3 几何分布(Geometric 分布)#

在重伯努利试验中，当试验次数时，称为可列重伯努利试验。

若以表示在可列重伯努利试验中结果出现时的试验次数，即若以“成功”表示结果发生，则表示首次成功的试验次数，所以

P(X=k)=q^{k-1}p \;\;\;\;\;\;k=1,2...

称此分布为几何分布，记作：

几何分布有如下性质：

以所有正整数为取值集合的随机变量服从几何分布，当且仅当对任何正整数和，都有：

P(ξ>m+n\;|\;ξ>m)=P(ξ>n)

这个性质称为几何分布的无记忆性（Memoryless Property）

几何分布是唯一具有无记忆性的离散概率分布。这意味着已经失败了次后，再需要经历次失败才成功的概率，和刚开始时需要次失败才成功的概率完全一样。

2.2.4 泊松分布(Poisson 分布)#

如果随机变量 X 有如下的概率分布:

P(X=k)=\frac{λ^k}{k!} e^{-\lambda }\;\;\;\;\;\;k=0,1,...

就称服从参数为的 Poisson 分布，并记作

设有一列二项分布，其中的参数满足条件：

\lim_{x→∞}np_n=λ>0

则对任何非负整数 都有：

\lim_{x→∞}b(k;\;n,p_n)=\lim_{x→∞}C_{n}^{k}p^k (1-p)^{n-k}=\frac{λ^k}{k!} e^{-\lambda }

这个定理叫做 **Poisson 定理 **

Poisson 分布的例子有：

单位时间放射性粒子个数；
某段高速公路上一年的事故数；
某商场一天中顾客到来个数；
一段时间内接到的电话个数；
等等。

2.2.5 超几何分布(Hypergeometric 分布)#

如果的概率分布是：

P(X=m)=\frac{C_{M}^{m}C_{N-M}^{n-m}}{C_{N}^{n}} ，\;\;\;m=0,1,...

则称 X 服从超几何分布，记作。注意对或 , 约定。名称超几何分布来自超几何函数, 类似于二项分布来自二项展开式.

最常见的例子就是：有个样本，其中个是不及格的。超几何分布描述了在该个样本中抽出个，其中个是不及格的个数

3.连续性随机变量#

定义

设是随机变量, 如果存在非负函数使得对任何满足的，有：

P(a <x≤ b)=\int_{a}^{b}f(x)dx

就称是连续型随机变量, 称是的概率密度函数(PDF), 简称为概率密度 (probability density) 或密度.

在线段上随机投点的位置，温度、气压、电压、电流等物理量等等，理论上可以在取到某个区间任何实数值。这样取值的随机变量称为连续型随机变量。

3.1 连续型随机变量的常见分布#

3.1.1 均匀分布 (Uniform 分布)#

设，如果分布函数具有密度函数：

p(x)=\frac{1}{b-a}，\;\;\;a≤x≤b

则称服从区间上的均匀分布，记作，这里是的缩写.容易算出对应的分布函数为：

F(x)=\left\{\begin{matrix}0，x≤a \\\frac{x-a}{b-a}，a<x≤b \\ 1，x>b \end{matrix}\right.

采用的示性函数 (indicator function)

I_{(a,b)}=\left\{\begin{matrix}1，x∈(a,b) \\ 0，x\notin (a,b) \end{matrix}\right.

还可以表示为：

3.1.2 指数分布 (Exponential 分布)#

对正常数，如果的密度是：

F(x)=\left\{\begin{matrix}λe^{-λx}，x≥0 \\ 0，x<0 \end{matrix}\right.

就称服从参数 (或期望为 ) 的指数分布，记作。这里是，通常还简记为

F(x)=λe^{-λx}，x≥0

或

F(x)=λe^{-λx}I_{[0,∞)}

与几何分布类似，指数分布也是一种 无记忆分布 ，并且是唯一的无记忆的连续性分布。

指数分布经常用来表示电子元件寿命、事件到来间隔时间等。这样的量经常具有无后效性 ，即已经存活 (等待) 了多长时间对还会再存活 (等待) 多长时间没有影响。
若随机变量满足则称为非负随机变量。
设是连续型非负随机变量, 则服从指数分布的充分必要条件是对任何 , 有：

P(X>s+t\;|\;X>s)=P(X > t)

这也被称为无后效性

3.1.3 正态分布 (Normal 分布)#

设是常数，是正常数，如果的密度函数是：

F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}，x\in\mathbb{R}

就称该分布就是为以和为参数的正态分布，记做 . 这里是 Normal 的缩写.

特别地, 当时, 称服从标准正态分布 (standard normal distribution). 标准正态分布的密度函数有特殊的地位, 所以用一个特定的符号表示:

φ(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{x^2}{2}}，x\in\mathbb{R}

参数是密度的中心和最大值点，密度在两侧对称，即函数关于对称
参数代表了密度的宽度， 越大密度越宽。
正态分布的随机变量具有大部分值靠近的特点。

\begin{matrix}P(|X − \mu| ≤ σ) =68.27\%\\P(|X − \mu| ≤ 2σ) =95.45\%\\ P(|X − \mu| ≤ 3σ) =99.73\%\\ P(|X − \mu| > 6σ) =1.96 × 10^{−9}\end{matrix}

这一结果反映了正态随机变量的一个十分引人注目的性质。以大于的概率取区间中的值,从而若以该区间来估计取值范围,其误差小于,我们将这种估计称为“3σ原则”
近来, 原则被广泛地运用到企业的质量管理上,称为管理原则(在的左右各三个 ).