7.随机变量的数字特征

2026年8月15日星期六·#概率论概率论·2306 字 12 分钟·

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1.数学期望#

1.1 引入#

随机变量的分布函数或密度函数描述了随机变量的统计性质, 从中可以了解随机变量落入某个区间的概率, 但是还不能给人留下更直接的总体印象.

例如用表示某计算机软件的使用寿命, 当知道服从指数分布后, 我们还不知道该软件的平均使用寿命是多少. 这里的平均使用寿命应当是一个实数.

我们需要为随机变量定义一个实数, 这个数就是数学期望, 它反映随机变量的平均取值.

1.2 定义#

设为一离散型随机变量，其分布律为：

P(X = x_j )，j = 0, 1, · · ·

只要级数：收敛，就称：

E(X)=\sum_{j=0}^{∞}x_jp_j

为或分布的数学期望(expected value) 或均值(mean)

而若发散，则的数学期望不存在
不难看出, 只取有限个值的随机变量的数学期望总是存在的

将视为横坐标处的质量, 由

\sum_{j=1}^{∞}(x_j-\mu)p_j=\sum_{j=1}^{∞}x_jp_j-\mu=0

知道的重心是。所以数学期望是的分布的重心

如果一连续型随机变量具有密度函数，则当：

\int_{-∞}^{+∞}|x|p(x)dx<∞

时，我们将积分

\int_{-∞}^{+∞}xp(x)dx

的值称为的数学期望(expected value) 或 均值(mean) 记作：，而如果

\int_{-∞}^{+∞}|x|p(x)dx=∞

则称的数学期望不存在。

通过上述定义，我们将离散型和连续型的定义整合起来，能够得到数学期望的总定义：

定义

设为一随机变量，其分布函数为，如果，则称：

\int_{-∞}^{+∞}xdF(x)

为随机变量的数学期望，记为

1.3 数学期望的性质#

数学期望的一般性质如下：

①：
②：
③：
④：若，则
⑤：若，则
⑥：设为一可测函数（包括了连续函数，阶梯函数等），则：

E(g(\xi))=\int_{-∞}^{+∞}g(x)dF_{\xi}(x)

这说明了计算随机变量函数的期望直接从原来的随机变量分布出发

1.4 常见分布的期望#

分布	记号	参数	数学期望 E(X)
0-1分布 / 伯努利分布
二项分布
几何分布
泊松分布
超几何分布
负二项分布

分布	记号	参数	数学期望 E(X)
均匀分布
指数分布
正态分布
标准正态分布		-
伽马分布

1.5 分位数和分位数#

我们已经知道，随机变量的数学期望就是它的平均值，因此从一定意义上，数学期望刻画了随机变量所取之值的“中心位置”。

但是，我们也可以用别的数字特征来刻画随机变量的“中心位置”。中位数就是这样一种数字特征。在不存在数学期望的随机变量，这种刻画工具显得尤为重要，即使对于存在数学期望的随机变量，中位数也是一种相当有用的数字特征。

定义

对于随机变量，如果：

P(\xi≤\mu)≥\frac12，P(\xi≥\mu)=\frac12

则称为随机变量的中位数。

而设，如果

P(\xi≤\mu_p)≥p，P(\xi≥\mu_p)=1-p

则称是随机变量的 分位数。

1.6 中心矩和原点矩#

定义

设是随机变量，是正整数. 如果，就称为的阶原点矩, 称为的阶中心矩. 当时, 我们将原点矩和中心矩统称为高阶矩.

2.方差#

方差用来描述分布的分散程度，或宽窄

2.1 定义#

定义

如果随机变量的数学期望有限，就称：

E(X-E(X))^2

为 X 的方差(Variance)，记做或或 . 当 , 称的方差有限. 称 = 为的标准差.

设是对长度为的物体的测量值, 则是测量误差, 是测量误差的平方。如果测量仪器无系统偏差 (即 ), 则是测量误差平方的平均, 称为均方误差。

设非退化的随机变量平方可积，我们称：

\xi^*=\frac{\xi-E(\xi)}{\sqrt{D(\xi)}}

为的标准化随机变量，其中易知：

2.2 方差的计算#

当有离散分布时, 利用公式得到：

D(X) = \sum_{j-1}^{∞}(x_j − \mu)^2\;P(X = x_j )

当有概率密度时, 利用公式得到：

D(X) = \int_{−∞}^{+∞} (x − \mu)^2 f(x)dx

随机变量的方差由的分布唯一决定.

的方差描述了的分散程度， 越小,说明在数学期望附近越集中.

特别当时,,.

利用数学期望的线性性质可以得到：

D(X)=E(X^2)-(E(X))^2

这是我们计算方差的最常用公式.

2.3 方差的性质#

设以下随机变量的二阶矩存在有限，为常数，则有：

①：，因此
②：
③：当且仅当，其中
④：对任意常数 c 有：，其中当且仅当时等号成立
⑤：如果随机变量和相互独立，为常数，则：

2.4 常见分布的方差#

分布	记号	参数	方差 D(X)
0-1分布（伯努利分布）
二项分布
几何分布
泊松分布
超几何分布
负二项分布

分布	记号	参数	方差 (D(X))
均匀分布
指数分布
正态分布
标准正态分布
伽马分布

2.5 Markov 不等式#

对随机变量和 , 有：

P(|X| ≥ ε) ≤ \frac{1}{ε^{α}} E|X|^α ，α > 0.

这也叫做 不等式。作为定理的直接推论, 取 , 用代替就得到：

P(|X − EX| ≥ ε) ≤ \frac{1}{ε^{2}} D(X)，ε > 0.

人们也称人们称时的马尔柯夫不等式为切比雪夫 (Chebyshev) 不等式

2.6 内积不等式#

设 , , 则有：

|E(XY )| ≤ \sqrt{E(X^2) E(Y^2)} .

其中等号成立的充分必要条件是有不全为零的常数 , 使得

3.协方差和协方差阵#

3.1 协方差#

如果和是定义在同一个概率空间上的两个随机变量，且，平方可积，那么我们就可以求的方差：

\begin{matrix}D(\xi+\eta)E[(ξ+η)−E(ξ+η)]^2=E[(\xi-E(\xi))+(\eta-E(\eta))]^2\\=E(\xi-E(\xi))^2+E[(\xi-E(\xi))(\eta-E(\eta))]+E(\eta-E(\eta))^2\\=D(\xi)+E[(\xi-E(\xi))(\eta-E(\eta))]+D(\eta)\end{matrix}

在上式中出现了，由于对任何实数，都有：

|xy|≤\frac12(x^2+y^2)

所以我们有：

|E[(\xi-E(\xi))(\eta-E(\eta))]|≤E[|\xi-E(\xi)||\eta-E(\eta)|]≤\frac12(D(\xi)+D(\eta))

所以只要平方可积，那么就有存在。

定义

设随机变量 平方可积，且存在，则我们称

E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

为与的协方差(Covariance)，记做或

当时, 称 不相关.

如果是定义在同一概率空间下的随机变量，并且其中每个随机变量都是平方可积的，称矩阵：

\sum=(b_{ij})=(Cov(X_i,Y_j))=\begin{pmatrix}D(X_1) &Cov(X_1,X_2) &\dots &Cov(X_1,X_n) \\Cov(X_2,X_1) &D(X_2) &\dots &Cov(X_2,X_n) \\\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\Cov(X_n,X_1) &Cov(X_n,X_2) &\dots &D(X_n) \end{pmatrix}

为的协方差阵，显然

如果矩阵的行列式 , 就称是退化的

3.1.5 协方差的性质#

协方差具有如下性质：

①：
②：
③： 这是计算协方差的常用公式
④：对任何实数，有：

cov(a_1X_1 + a_2X_2\;,\; b_1Y_1 + b_2Y_2) =\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}a_ib_jCov(X_i,Y_j)

3.2 相关系数#

在介绍相关系数的定义前，我们看如下引理：

设都是平方可积的，则有：

[E(XY)]^2≤E(X^2)E(Y^2)

当且仅当时等号成立，其中为一常数。这个定理称作：柯西-施瓦茨不等式(Cauchy − Schwarz Inequality)

故而设随机变量平方可积，则有

Cov(X,Y)≤\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}

并且当且仅当存在，使得时等号成立。

现在我们来给出相关系数的定义：

定义

设随机变量 平方可积，我们称：

\rho_{XY}=\frac{\sigma_{XY}}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}

为与的相关系数。有时也用表示相关系数。

相关系数只表示了间的线性关系。当 , 尽管称不相关, 它们之间还可以有很强的非线性关系.

3.2.5 相关系数的性质#

4.数字特征总结#

分布名称	特征函数	备注
二点分布		为的二项分布
二项分布		关于具有再生性
几何分布		无记忆
泊松分布		关于具有再生性
超几何分布	—	—
均匀分布		—
正态分布		关于具有再生性
指数分布		无记忆

7.随机变量的数字特征

1.数学期望#

1.1 引入#

1.2 定义#

1.3 数学期望的性质#

1.4 常见分布的期望#

1.5 分位数和分位数#

1.6 中心矩和原点矩#

2.方差#

2.1 定义#

2.2 方差的计算#

2.3 方差的性质#

2.4 常见分布的方差#

2.5 Markov 不等式#

2.6 内积不等式#

3.协方差和协方差阵#

3.1 协方差#

3.1.5 协方差的性质#

3.2 相关系数#

3.2.5 相关系数的性质#

4.数字特征总结#

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7.随机变量的数字特征

1.数学期望#

1.1 引入#

1.2 定义#

1.3 数学期望的性质#

1.4 常见分布的期望#

1.5 分位数和 分位数#

1.6 中心矩和原点矩#

2.方差#

2.1 定义#

2.2 方差的计算#

2.3 方差的性质#

2.4 常见分布的方差#

2.5 Markov 不等式#

2.6 内积不等式#

3.协方差和协方差阵#

3.1 协方差#

3.1.5 协方差的性质#

3.2 相关系数#

3.2.5 相关系数的性质#

4.数字特征总结#

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