1.随机向量及联合分布#
在实际应用中，对所考虑的问题需要多个变量来描述。如研究身高体重的关系等，简单地讲，我们把多个随机变量放在一起组成向量，称为随机向量或多维随机向量
1.1 随机向量#
如果定义 的每一维 都是一个随机变量，则称 为 维随机变量或者随机向量。
譬如：如果 都是随机变量, 就称 是二维随机向量
1.2 联合分布与边缘分布#
设 为 维随机变量，我们称：
F(x1,...,xn)=P(X1≤x1,...,Xn≤xn)=P(i=1∏nω:Xi(ω)≤xi)，∀(x1,...,xn)∈Rn为随机向量 X 分布函数，或者随机变量 的联合概率分布函数, 简称为联合分布 (Joint Distribution).
并且称
FXi(xi)=P(Xi≤xi)为随机变量 的边际（边缘）分布函数(Marginal Distribution Function)
特别地，对于随机向量 ，称
F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)为 的联合概率分布函数。且 分别有概率分布
FX(x)=P(X≤x,Y≤∞)=F(x,∞)FY(x)=P(X≤∞,Y≤y)=F(∞,y)则称 的分布函数 ， 的分布函数 为 的边缘分布函数
维分布： 具有如下性质：
①： 对每个变元非降
②： 对每个变元右连续
③：有：
xj→−∞limF(x1,...,xn)=0，∀1≤j≤nx1→−∞,...,xn→−∞limF(x1,...,xn)=11.3 独立随机变量#
如果对任何实数 , 事件 和 独立，那么就称随机变量 独立。即对任何 ，有：
P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)或等价地有：
F(x,y)=FX(x)FY(y).推广至 n 元，就有：
设 为 维随机变量：
如果对任何实数 ，有：
P(X1≤x1,X2≤x2,...,Xn≤xn)=P(X1≤x1)P(X2≤x2)...P(Xn≤xn)就称随机变量 相互独立.
如果对任何 ,有 相互独立，就称随机变量的序列 相互独立. 这时称 是独立序列 (independent sequence)
2.离散型随机向量#
如果 为 维离散随机变量或者 随机向量，如果 的每一维 都是一个离散型随机变量 。设 的所有可能取值为 ，则称
P(X1=a1j1,...,Xn=anjn)=p(j1,...,jn)，ji=1,2,...(i=1,2,...,n)为离散型随机向量 的概率函数或者 维离散型随机变量 的联合概率函数（分布律）
而称 为离散型随机变量 的边际概率函数（分布律）
对于二元的，则是：
如果 都是离散型随机变量, 就称 是离散型随机向量. 设 离散型随机向量 有概率分布：
pi,j=P(X=xi,Y=yi)，i,j≥1则 和 分别有概率分布：
pi≡P(X=xi)=j=1∑∞P(X=xi，Y=yi)=j=1∑∞pi,j，i≥1pi≡P(X=xi)=j=1∑∞P(X=xi，Y=yi)=j=1∑∞pi,j，i≥1我们称 的分布 , Y 的分布 为 的边缘分布.
离散型随机向量 的所有不同取值是
(xi,yj)，i,j≥1则 相互独立的充分必要条件是对任何 ：
P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj)
