4.2.行列式进阶

2026年8月2日星期日·#线性代数线性代数·1395 字 7 分钟·

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1.重要的行列式#

1.1.上下三角主对角#

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}\,a_{22}\,a_{33}\,...\,a_{nn}

1.2.上下三角副对角#

\begin{vmatrix} a_{11}& \cdots&a_{1,n-1} & a_{1n} \\ a_{21}& \cdots&a_{2,n-1} & 0 \\ \vdots & ⋰ & \vdots &\vdots \\ a_{n1}& \cdots& 0 & 0 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 0& \cdots&0 & a_{1n} \\ 0& \cdots&a_{2,n-1} & a_{2n} \\ \vdots & ⋰ & \vdots &\vdots \\ a_{n1}& \cdots& a_{n,n-1} & a_{nn} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 0& \cdots&0 & a_{1n} \\ 0& \cdots&a_{2,n-1} & 0 \\ \vdots & ⋰ & \vdots &\vdots \\ a_{n1}& \cdots& 0 & 0 \end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2} }a_{1n}a_{2,n-1}...a_{n1}

1.3 一杠一星#

形如：

\begin{vmatrix} & & & x \\ y & & & \\ & z & & \\ & & t & \end{vmatrix} =(-1)^{τ(col(x)·col(y)·col(z)·col(t))}xytz

的行列式，乘积前的正负号由行列式中按行由上到下的数由大到小对应的列数组成的逆序数奇偶性决定。阶数增大也同理，举个例子，对于下面这个行列式，有：

\begin{vmatrix} & & & 1& \\ & &2 & & \\ & 3 & & & \\ 4& & & & \\ & & & &5 \end{vmatrix}=(-1)^{τ(43215)}·5!=120

1.3.5 两杠一星#

将分别看作两个一杠一星，分别计算乘积和逆序数即可。

1.4 爪形 / 弓形行列式#

形如：

\begin{vmatrix} 1& 2& 3& 4\\ 2& 1& & \\ 3& & 1& \\ 4& & & 1 \end{vmatrix}，\begin{vmatrix} 1& 1& 1& 1\\ 2& & & 2\\ 3& & 3& \\ 4& 4& & \end{vmatrix}

的行列式称作弓形 / 爪形行列式。对于爪形，我们尽量让第 2/3/4/…列乘以对应的数减到第一列上，消去第一列除第一个元素以外的元素，从而变成一个上三角行列式。，弓形同理，需要消元变成副上三角行列式，例如：

\begin{vmatrix} 1& 2& 3& 4\\ 2& 1& & \\ 3& & 1& \\ 4& & & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -28& 2& 3& 4\\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1 \end{vmatrix}=-28

1.5 么型行列式#

如图，形如图中此类形状如“么”子的行列式就叫么型行列式

最常见的做法是消去么双边的那一撇，变成“厶”字，或者保留上面那一撇。而去掉下面一瞥。 例如此行列式：

\begin{vmatrix} & & -1& 2\\ & -1& 2& \\ -1& 2& & \\ 2& 2 & 2& 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} & & -1& \\ & -1& & \\ -1& & & \\ 2& 4 & 10& 22 \end{vmatrix}=-22

1.6 同行（列）同数#

即某行/某列都包含有某数的行列式，我们尽量尝试将其化为爪形行列式再继续做。举个例子：

\begin{vmatrix} a_1+1& a_2& a_3& a_4\\ a_1& a_2+1& a_3& a_4\\ a_1& a_2& a_3+1& a_4\\ a_1& a_2& a_3& a_4+1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1+1& a_2& a_3& a_4\\ -1& 1& & \\ -1& & 1& \\ -1& & & 1 \end{vmatrix}

=\begin{vmatrix} a_1+a_2+a_3+a_4+1& a_2& a_3& a_4\\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1 \end{vmatrix}=a_1+a_2+a_3+a_4+1

1.7 行（列）和相等#

即每一行 / 列的元素加和进去结果相等的行列式，我们尽量尝试将其化为上下三角形行列式再继续做。举个例子：

\begin{vmatrix} 5& 2& 3& 4\\ 2& 5& 3& 4\\ 3& 2& 5& 4\\ 4& 2& 3& 5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 14& 2& 3& 4\\ 14& 5& 3& 4\\ 14& 2& 5& 4\\ 14& 2& 3& 5 \end{vmatrix}=14\begin{vmatrix} 1& 2& 3& 4\\ 1& 5& 3& 4\\ 1& 2& 5& 4\\ 1& 2& 3& 5 \end{vmatrix}=14\begin{vmatrix} 1& & & \\ 1& 3& & \\ 1& & 2& \\ 1& & & 1 \end{vmatrix}=64

1.7.5 ab型行列式（特殊化的1.7）#

形如如下行列式的行列式叫 ab 型行列式，是一种特殊的每一行 / 列的元素加和进去结果相等的行列式：

\begin{vmatrix} a& b&\cdots & b\\ b& a&\cdots & b\\ \vdots&\vdots &\ddots &\vdots \\ b& b&\cdots & a \end{vmatrix}=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}

1.8 范德蒙德行列式#

范德蒙德行列式（Vandermonde）是一个各行(row)呈现出几何级数的行列式，即：

\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^n & x_2^n & \cdots & x_n^n \end{vmatrix}

它的结果为：

\begin{array}{c} (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1)...(x_n-x_1) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,·(x_3-x_2)(x_4-x_2)...(x_n-x_2) \\ ... \\ \qquad\qquad\qquad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\;·(x_n-x_{n-1}) \\ \end{array}

=\prod_{1\le j<i\le n}^{} (a_i-a_j)

1.9 X 型行列式#

以中心为原点，向四个斜向方向伸展，就像字母“”的行列式就叫 型行列式,这种行列式的算法就是从内到外一圈一圈地用主对角线乘积减副对角线乘积，举个例子，对于：

\begin{vmatrix} 1& & & & &2 \\ & 2& & & 3& \\ & & 3& 4& & \\ & & 5& 4& & \\ & 6& & & 5& \\ 7& & & & &6 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1& 2& & & & \\ 7& 6& & & & \\ & & 2& 3& & \\ & & 6& 5& & \\ & & & & 3& 4\\ & & & & 5&4 \end{vmatrix}=(1×6-2×7)×(2×5-3×6)×(3×4-4×5)

同理，对于：

\begin{vmatrix} 1& & & & 2\\ & 2& & 3 & \\ & & 3& & \\ & 4& & 4& \\ 9& & & & 5 \end{vmatrix}=(1×5-2×9)×(2×4-3×4)×3

1.10 Laplace展开#

设为阶矩阵，为阶矩阵，则有：

\begin{vmatrix} A& C\\ O&B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A& O\\ C&B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A& O\\ O&B \end{vmatrix}=|A||B|

\begin{vmatrix} C& A\\ B&O \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} O& A\\ B&C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} O& A\\ B&O \end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|

1.11 宽对角/三对角行列式（Hard）#

形如以下形式的行列式就是宽对角/三对角行列式，即：

D_n=\begin{vmatrix}\alpha+\beta & \alpha & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \beta & \alpha+\beta & \alpha & \cdots & 0 & 0\\ 0 & \beta & \alpha+\beta & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \alpha+\beta & \alpha\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \beta & \alpha+\beta\end{vmatrix}或\begin{vmatrix}\alpha+\beta & \alpha\beta & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 1 & \alpha+\beta & \alpha\beta & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 1 & \alpha+\beta & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \alpha+\beta & \alpha\beta\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \alpha+\beta\end{vmatrix}

这样的两个行列式有相同的结论：

4.2.行列式进阶

1.重要的行列式#

1.1.上下三角主对角#

1.2.上下三角副对角#

1.3 一杠一星#

1.3.5 两杠一星#

1.4 爪形 / 弓形行列式#

1.5 么型行列式#

1.6 同行（列）同数#

1.7 行（列）和相等#

1.7.5 ab型行列式（特殊化的1.7）#

1.8 范德蒙德行列式#

1.9 X 型行列式#

1.10 Laplace展开#

1.11 宽对角/三对角行列式（Hard）#

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1.重要的行列式#

1.1.上下三角主对角#

1.2.上下三角副对角#

1.3 一杠一星#

1.3.5 两杠一星#

1.4 爪形 / 弓形行列式#

1.5 么型行列式#

1.6 同行（列）同数#

1.7 行（列）和相等#

1.7.5 ab型行列式（特殊化的1.7）#

1.8 范德蒙德行列式#

1.9 X 型行列式#

1.10 Laplace展开#

1.11 宽对角/三对角行列式 （Hard）#

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