1.到矩阵的过渡#
对于数域 上的一个矩阵 :
A=a11⋮as1⋯⋱⋯a1n⋮asn其中的每一行都可以看作为 中的一 维向量，并分别记作： ，这 个向量也称作该矩阵的行向量组。
同理，其中的每一列都可以看作为 中的一 维向量，并分别记作： ，这 个向量也称作该矩阵的列向量组。
其中，我们定义 为该矩阵 的列秩， 为该矩阵 的行秩。 为该矩阵 的列空间， 为该矩阵 的行空间。
由前文最后所提到的定理： ，。
现在我们一直在讨论列与列/行与行之间的关系，现在我们探讨行秩和列秩的关系：
1.5.矩阵的行秩和列秩#
1.5.1.阶梯形矩阵的行秩和列秩#
对于阶梯形矩阵 ，若 的非零行的个数为 ，从而有 个主元，且：
J=00000⋯⋯⋯⋯⋯000⋯⋯c1j100⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯000⋯⋯⋯c2j20⋯⋯⋯⋯⋯0⋯⋯c1jrc2jrcrjr⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯c1nc2ncrn00其中列向量和行向量分别为 ， 。现在我们将其中带着主元的部分列向量单独列出：
c1j100⋮0,c1j2c2j20⋮0,...,c1jrc2jrc3jr⋮crjr如果变成矩阵，这是一个上三角行列式/矩阵，其结果就是主对角线元素的乘积：
c1j1c2j2...crjr很显然主元都不为零，所以这个行列式的结果不为零，则这些向量组就是 线性无关 的。由前页的结论可知：它们的延伸组： 也线性无关。从而:
dim<αj1,αj2,...,αjr>=rank{αj1,αj2,...,αjr}=r接下来考虑这样一个集合：
U=⎩⎨⎧a1⋮ar0⋮0a1,...,ar∈K⎭⎬⎫⊆Ks其中每个向量有可以写成 ，所以 的一个基就是 从而 。而且显然有：
<αj1,αj2,...,αjr>⊆<α1,...,αr>⊆U从而：
r=dim<αj1,αj2,...,αjr>≤dim<α1,...,αj1,αj2,...,αjr,...,αr>≤dimU=r因此： ，也就是说 的列秩为 。对于行的情况同理，也能得到 的行秩为 。故而有
阶梯形矩阵 的列秩 = 的行秩 = ，并且 的主元所在的列构成 列向量组的一个极大线性无关组。
1.5.2.一般矩阵的秩#
然而在一般情况下，普通的矩阵需要经过初等行变换来化简成阶梯形矩阵，我们需要考虑初等行变换是否会改变矩阵的行秩和列秩，我们猜测:
对于行秩
①：设矩阵 经过初等行变换： 变成了矩阵 ，考虑行向量组：
，经过变换后，为：
γ1,γ2,...,γi,...,γj+k⋅γi,...γs，显然 有：
γj=(γi+k⋅γj)+(−k⋅γj)所以其可以被线性表出，从而 的行秩 = 的行秩
②： 经过初等行变换： 互换变成了矩阵 ，这是显然的。
③： 经过初等行变换： 变成了矩阵 ，其为①的变种，同理可证
对于列秩
设矩阵 经过初等行变换变成了矩阵 ，他们的列向量组分别为： 和 。我们考虑他们的齐次线性方程组：
x1η1+x2η2+...+xnηn=0x1δ1+x2δ2+...+xnδn=0由前面线性方程组的性质，很容易知道这两个方程组有同解，从而 有非零解 等价于 有非零解，也就等价于： / 线性相关。
接下来考虑这样两个矩阵 和 ： 经过初等行变换变成了矩阵 ，其中 矩阵的第 列，和 矩阵的第 列分别是两个矩阵列向量组的一个子序列，我们设他们分别组成了矩阵 和 ，很显然 线性无关，由前述定理： 也一定线性无关。
我们现在任取 ，将 按照原顺序构成矩阵 ,同理构成矩阵 ，正阳的话，我们得到的这两个新向量组都是线性相关的。故而：
矩阵的第 列，和 矩阵的第 列分别是两个矩阵列向量组的一个极大线性无关组 。所以 的列秩 = 的列秩 =
Q.E.D我们奇妙的发现：任意一个矩阵，他的行秩和列秩都是完全相等的，我们给予他一个全新的称呼，做一个新的定义：
矩阵 的行秩和列秩，统称为矩阵的秩，记作 。
设 经过初等行变换变成了阶梯型矩阵 ，则 的非零行的个数 ，而且若 的主元在第 列，则 的第 列构成一极大线性无关组。
而且可以推出以下引理：
*对于 非零矩阵 ，它的秩等于 的不为零的子式的最高阶数 *
设 则 的不为零的 阶子式所在的列/行 是 A 的列/行向量组的一个极大线性无关组
1.5.3.满秩矩阵#
对于 级矩阵 ，若 ，则我们称 A 为一个满秩矩阵。
由此我们也可以知道： 级矩阵满秩等价于
我们用我们刚才学的东西回头看我们最开始提出的问题：
1.7.5 线性方程组解的情况与秩的关系#
1.7.5.5 线性方程组有解判别定理#
x1α1+x2α2+...+xnαn=β有解就等价于：它的增广矩阵与系数矩阵的秩相等。*
x1α1+x2α2+...+xnαn=β若其有解，就代表系数向量 ，由此我们又能推出，反之显然也成立，因此就等价于：
<α1,α2,...,αn,β>=<α1,α2,...,αn>同理，能看出上式也等价于：
dim<α1,α2,...,αn,β>=dim<α1,α2,...,αn>而前者即为该线性方程组的增广矩阵 的秩，后者即为该线性方程组的系数矩阵 的秩。
Q.E.D当线性方程组有解时： 经过初等行变换化成的阶梯型矩阵的非零行的个数 ，当 时，方程组有唯一解；当 时，方程组有无穷多解’*
特别地，对于数域 上的 元齐次线性方程组，它有非零解就等价于： 。
我们先前研究了线性空间的部分结构，而在刚刚讨论的解的情况中，无穷多解是我们值得深思的，无穷多个线性方程组的解，是否也能构成一个空间呢？这个空间的结构又是怎么样的呢？
2.1.对于齐次线性方程组#
对于数域 上的 元齐次线性方程组：
x1α1+x2α2+...+xnαn=0(1)我们将它的解集记作 ，我们设 (1) 具有非零解，则该解集一定是一个 元数组，也就是说有： 。我们好奇的是 是不是 的一个子空间，由定义，W 存在以下封闭性质：
①：若 ，则
②：若 ，，则
η=(c1,...,cn)，δ=(d1,...,dn)又由于它们都是方程组的解，所以有：
c1α1+c2α2+...+cnαn=0，d1α1+d2α2+...+dnαn=0从而有：
(c1+d1)α1+(c2+d2)α2+...+(cn+dn)αn=0所以
②：类似的，同理可证。
Q.E.D故齐次线性方程组的解集 就是 的一个子空间，我们称 为齐次线性方程组的 解空间 。
空间的结构已然明了，我们只需要再找到该空间的基，则该空间的元素性质也能被我们把握，即我们接下来探讨：当 (1) 的齐次线性方程组有非零解时，求 W 的一个基和维数 。
设 ,其中 是 系数矩阵，接下来把 经过初等行变换变成阶梯形矩阵 ，于是 就有 个主元 。不妨设它们分别在前 列,从而 (1) 的一般解为：
⎩⎨⎧x1=−b1,r+1xr+1−b1,r+2xr+2−...−b1,nxn⋮xr=−br,r+1xr+1−br,r+2xr+2−...−br,nxn让自由未知量 取 组数：
100⋮0,010⋮0,...,000⋮1(2)得到方程组的 个解：
η1=−b1,r+1⋮−br,r+110⋮0,η2=−b1,r+2⋮−br,r+201⋮0,...,ηn−r=−b1,n⋮−br,n00⋮1(3)则容易看出向量组 (2) 线性无关（行列式不为零），从而它们的延伸组 也就是 (3) 也线性无关。
再任取 W 的一个解向量：
η=c1⋮crcr+1⋮cn我们就要看看这任取的一个解向量是否能通过 线性表出：由一般解公式：
⎩⎨⎧c1=−b1,r+1cr+1−b1,r+2cr+2−...−b1,ncn⋮cr=−br,r+1cr+1−br,r+2cr+2−...−br,ncn从而原 解：
η=c1⋮crcr+1⋮cn=−b1,r+1cr+1−b1,r+2cr+2−...−b1,ncn⋮−br,r+1cr+1−br,r+2cr+2−...−br,ncn1⋅cr+1+0⋅cr+2+...+0⋅cn⋮0⋅cr+1+0⋅cr+2+...+1⋅cn=cr+1−b1,r+1⋮−br,r+110⋮0+cr+2−b1,r+2⋮−br,r+201⋮0+...+cn−b1,n⋮−br,n00⋮1=cr+1η1+...+cbηr这样， 任意的一个解就都能被 线性表出，因此 就是 的一组基。从而有：
dimW=n−r=n−rank(A)于是我们就证明了：
x1α1+x2α2+...+xnαn=0有非零解，那么解空间 W 的维数 *
我们把 W 的一个基就称为齐次线性方程组的一个基础解系
设 是齐次线性方程组 (1) 的一个基础解系，则齐次线性方程组的全部解为：
k1η1+k2η2+...+kn−rηn−r其中：
2.2.对于非齐次线性方程组#
对于数域 上的 元非齐次线性方程组：
x1α1+x2α2+...+xnαn=β(1)我们将它的解集记作 ，我们考虑其相应的齐次线性方程数组
x1α1+x2α2+...+xnαn=0(2)的解集记作 。我们继续找符合定义的 的封闭性质：
①：若 ，则
②：若 ，，则
γ=(a1,...,an)，δ=(b1,...,bn)又由于它们都是方程组的解，所以有：
a1α1+a2α2+...+anαn=β，b1α1+b2α2+...+bnαn=β从而有：
(a1−b1)α1+(a2−b2)α2+...+(an−bn)αn=0所以
②：类似的，设
γ=(a1,...,an)，η=(c1,...,cn)有：
a1α1+a2α2+...+anαn=β，c1α1+c2α2+...+cnαn=0从而有：
(a1+c1)α1+(a2+c2)α2+...+(an+cn)αn=β所以
Q.E.D设 (称 为非齐次线性方程组的一个特解)，按照 ②，有：
γ0+W:={γ0+η∣η∈W}⊆U包含关系确定了，当然也务必要判断一下被包含关系：
任取 ，按照 ①，有 ，记 ，就有：
γ=γ0+η∈γ0+W所以：
γ0+W=U于是我们证明了
x1α1+x2α2+...+xnαn=β的解集 为
U=γ0+W其中 为方程组的一个特解， 为相应齐次线性方程组的解空间
其中 又称作一个 型的* 线性流形 ,也称作一个 仿射空间,也称作的一个 陪集。
设 的一个基为 ,则非齐次线性方程组 (1) 的全部解为
γ0+k1η1+k2η2+...+kn−rηn−r其中： ， 是非齐次线性方程组的一个特解
3.子空间#
3.1.子空间的运算#
我们从一个例子看起：对于空间中的两个平面 ，它们显然都是几何空间的一个子空间，而 相交于直线 ，并且 过定点 ，很显然 也是一个子空间。
我们思考这种规律能否推广到一般的线性空间中：
3.1.1.子空间的交#
设 是数域 上的一个线性空间，且 都是 的子空间。则对于 而言，首先显然有 ；再任取 ，由子空间的定义， 对 都封闭，所以有 ；再任取 ，，则同理 ，可以看到加法和数乘都是封闭的，因此 ：
设 都是 的子空间，则 是 的一个子空间。并称这种运算为 和 的交。
而且子空间的交满足如下规律：
①: （交换律）
②: （结合律）
从而
i=1⋂sVi=V1∩V2∩V3∩...∩Vs也是 的一个子空间。
3.1.2.子空间的和#
我们考虑一个运算，这个运算能使结果既包含 中的所有向量，又包含 中的所有向量。即定义：
V1+V2:={α1+α2∣α1∈V1,α2∈V2}由于 , 因此 ，任取 的两个向量： ， ，由结合律，有：
(α1+α2)+(β1+β2)=(α1+β1)+(α2+β2)∈V1+V2再取 ，则：
k(α1+α2)=kα1+kα2∈V1+V2所以 是 的一个子空间，并称 是 和 的和。
而且子空间的和满足如下规律：
①: （交换律）
②: （结合律）
从而
i=1∑sVi=V1+V2+V3+...+Vs也是 的一个子空间。
3.2.子空间的维数#
考虑两个生成子空间： 。若将这两个生成子空间加起来，也就是 ，则这个结果应该属于 ，就有：
<α1,α2,...,αs>+<β1,β2,...,βr>=<α1,...,αs,β1,...,βr>因为我们要讨论维数关系，我们设 都是 的有限维子空间，我们猜测：
dim(V1+V2)=dimV1+dimV2−dim(V1∩V2)我们从 中取一个基： 并把它分别扩充成 的一个基:
和 的一个基
α1,...,αm,γ1,...,γn2−m则
V1+V2=<α1,...,αm,β1,...,βn1−m>+<α1,...,αm,γ1,...,γn2−m>=<α1,...,αm,β1,...,βn1−m,γ1,...,γn2−m>设：
k1α1+...+kmαm+p1β1+...+pn1−mβn1−m+q1γ1+...+qn2−mγn2−m=0移项：
q1γ1+...+qn2−mγn2−m=−k1α1−...−kmαm−p1β1−...−pn1−mβn1−m等式左侧属于 ，右侧属于 ，所以整个式子属于 ，于是有，而这就是我们扩充的 的基，所以该式线性无关，有：
l1=l2=...=lm=q1=...=qn2−m=0代入原式变成了：
k1α1+...+kmαm+p1β1+...+pn1−mβn1−m=0而这又是我们扩充的 的基，所以该式也线性无关，有：
k1=k2=...=km=p1=...=pn2−m=0所以：
<α1,...,αm,β1,...,βn1−m,γ1,...,γn2−m>线性无关。从而:
dim(V1+V2)=m+(n1=m)+(n2=m)=n1+n2−m=dimV1+dimV2−dim(V1∩V2)Q.E.D并且我们有如下推论：
3.3.子空间的直和 ※#
看一个例子：对于一个平面 和一个过平面于点 的直线 ，则该几何空间中的任意一个向量 ，而且不难看出这个加法是唯一的；我们依旧拓展到一般情况：
*设 都是 的子空间，如果 中的每一个向量 都可以表示成：
α=α1+α2，其中α1∈V1,α2∈V2而且表示方法唯一，那么称这个和 是直和*
设 都是 的子空间，则：
①： 是直和
②： 中 的表法唯一 (即若 , 又由于 ,则 )
③：
④： 的一个基 与 的一个基 的并集 是 的一个基
其中：
①⇔②⇔③⇔④也就是说知道其中一个，可以推出另外三个结论。
4.线性空间的分类#
4.1.先导知识#
我们先来回顾一下映射的概念（[[计算机科学/数学部分/线性代数/5.线性空间一|5.线性空间一]]）
映射是数学中描述两个非空集合间元素对应关系的术语
设 是两个非空集合，若对 中的任一元素 ，依照某种规律或法则 中***唯一*** 确定的元素 与之对应：
其中：
是收敛箭号、射向符号、映射符号，俗称**“右向箭号”** ，用于定义函数架构，连接定义域至陪域；作用对象是集合与集合之间，不涉及具体的数字计算。读作“(从)…到…”（(from) … to …），数学语义是“映射”。
是映射值箭号、元素映射号，俗称**“带杠箭号”** ，用于定义元素关系，指明自变量到因变量；作用对象是元素与元素之间，涉及运算结果或表达式。读作“…映射到…”（… maps to …），数学语义是“赋值”。
则称此对应规律或法则 为一个从 到 的***映射*** 。并且，称集合 为映射 的定义域(domain) ，集合 为映射 的到达域/陪域(codomain)；称 为 在 下的 像，记作 ; 为 在 下的**一个** 原像 。记作：
y=f(x)此外，称集合 为映射 的**值域** ， 也称为在 作用下的 像(image)。记作：，其中
Rf:={f(x)∣x∈A}或Rf=f(A)
- 若 ，则 称为一个***满射*** 。
- 若 中不同元素在 下的像不同，则 称为 单射。
- 若 既是单射又是满射，则称 为一个***双射***。
