1.矩阵是什么？#

在正式讲解矩阵之前，先来讨论一下什么是矩阵：

数学上，一个的矩阵（Matrix）是一个有行（row）列（column）元素的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字或符号甚至是函数。以数学符号而言，就是：

M_{s×n}(K):=\left \{\,数域 \,K \,上\,s×n\,的 阵列\,\right\}

当时，该矩阵又叫做级矩阵，也记作。当我们说两个矩阵相等，实际上是说他们的 行数相等，列数相等，以及对应的元素相等。

定义元素都是的矩阵叫做一个零矩阵，记作或。

2.矩阵的运算#

2.1.矩阵的基础运算#

我们考虑两个矩阵能否进行加法操作，对于两个形状相等的矩阵，我们很自然的定义定义：

\begin{pmatrix}a_{11} &... &a_{1n} \\\vdots & &\vdots \\a_{s1} &... &a_{sn} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{11} &... &b_{1n} \\\vdots & &\vdots \\b_{s1} &... &b_{sn} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11} &... &a_{1n}+b_{1n} \\\vdots & &\vdots \\a_{s1}+b_{s1} &... &a_{sn}+b_{sn} \end{pmatrix}

同理，对于数量乘法，有：

k\cdot \begin{pmatrix}a_{11} &... &a_{1n} \\\vdots & &\vdots \\a_{s1} &... &a_{sn} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ka_{11} &... &ka_{1n} \\\vdots & &\vdots \\ka_{s1} &... &ka_{sn} \end{pmatrix}

易验证，组成的集合满足线性空间条件的八条性质，故矩阵 可以构成数域一个线性空间。

2.2.矩阵的乘法#

看一个例子：过定点的平面上，有一向量绕点旋转，从点转到点，大小都是，经过角，我们记住这个旋转操作叫做。

设与轴正向夹角为，则：

\left\{\begin{matrix}x'=rcos\alpha \, cos\theta -rsin\alpha \, sin\theta=xcos\theta-ysin\theta \\y'=rsin\alpha \, cos\theta +rcos\alpha \, sin\theta=xsin\theta+ycos\theta \end{matrix}\right.

我们把得到的的系数排成一张表，将旋转角的操作对应到这个矩阵上。变成：

θ\longmapsto\begin{pmatrix}cos\theta &-sin\theta \\sin\theta &cos\theta \end{pmatrix}=A

而倘若向量继续绕点旋转，转到点，经过角，这个旋转操作叫做。则其也有对应的：

τ\longmapsto \begin{pmatrix}cos\varphi &-sin\varphi \\sin\varphi &cos\varphi \end{pmatrix}=B

而将两者合起来看，考虑转角为的映射乘积 。则有：

στ\longmapsto \begin{pmatrix}cos(\theta+\varphi) &-sin(\theta+\varphi) \\sin(\theta+\varphi) &cos(\theta+\varphi) \end{pmatrix}=A·B

展开就有：

A·B=\begin{pmatrix}cos\theta cos\varphi-sin\theta sin\varphi &-sin\theta cos\varphi-cos\theta sin\varphi \\sins\theta cos\varphi+cos\theta sin\varphi &cos\theta cos\varphi-sin\theta sin\varphi \end{pmatrix}

很自然地，我们就推出来了矩阵乘法的操作。不难看出，他们大抵是按照这样的方式相乘的：

由此引出矩阵乘法的定义：

定义

对于两个矩阵和 :

A=\begin{pmatrix}a_{11} &... &a_{1n} \\\vdots & &\vdots \\a_{s1} &... &a_{sn} \end{pmatrix}，B=\begin{pmatrix}b_{11} &... &b_{1m} \\\vdots & &\vdots \\b_{n1} &... &b_{nm} \end{pmatrix}

我们规定矩阵的乘法为：

A·B=\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+...+a_{1n}b_{n1} &... &a_{11}b_{1m}+...+a_{1n}b_{nm} \\\vdots & &\vdots \\a_{s1}b_{11}+...+a_{sn}b_{n1} &... &a_{s1}b_{1m}+...+a_{sn}b_{nm} \end{pmatrix}_{s×m}

矩阵乘法有如下要点：

①：左矩阵的列数 = 右矩阵的行数
②：对于乘积矩阵里的元素，有：

AB(i\;;j)=a_{i1}b_{ij}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}，i=1,...,s\;j=1,...,n

③：矩阵的行数 = 的行数 , 的列数 = 的列数

来看几个例子：

1.若 , 则 :

2.对于行向量 : ( 个) 可以看成一个的矩阵，同理对于列向量 : ( 个) 也可以看成一个的矩阵，他们之间做乘法，有：

(1,1,...,1)·\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots\\ 1 \end{pmatrix}=(n)=n

\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots\\ 1 \end{pmatrix}·(1,1,...,1)=\begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} =:J

显然，我们能看到矩阵的乘法不满足交换律，两个矩阵对调位置，结果有时候会有质的变化，那么矩阵的乘法都满足什么运算法则呢？

我们上节知道了映射的乘法满足一部分运算法则，故我们猜测矩阵乘法满足以下规律：

①： (结合律)

②： (左分配律)

③： (右分配律)

④：
对于一个特殊的矩阵：它的主对角线元素都是一，其余元素都是零，并定义为：

I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}

我们称这类矩阵叫做 单位矩阵 。

单位矩阵和任何矩阵相乘都得这个矩阵本身，即：

A·I=I·A=A

⑤：

2.2.5.矩阵的幂#

我们已经定义了矩阵的乘法，多个相等的矩阵连续做乘积便构成了矩阵的幂，若矩阵为方阵，定义：

A^m:=A·A·A·...·A\;\;(m个，其中m∈\mathbb{N} ^*)

当时，。且有：

(A^k)^l=A^{kl}，A^k·A^l=A^{k+l}

这与代数的幂基本一致。

2.3.矩阵转置的运算#

对于矩阵的转置，常见的有以下运算：设矩阵 ,有：

①：

②：

③：
证明：*由乘法定义，有：

(AB)'(i\;;j)=AB(j\;;i)=\sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{ki}

且：

(B'A')(i\;;j)=\sum_{k=1}^{n}B'(i\;;k)A'(k\;;j)=\sum_{k=1}^{n}b_{ki}a_{jk}

因此二者相等，证毕。*

了解了以上运算，对于一个普通的线性方程组：

\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\... \\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_s \end{matrix}\right.\,\,\quad\,\quad\,\,\,\quad\,\,\quad(1)

能写成：

\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{s1} & \cdots & a_{sn} \end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{pmatrix}

的形式，我们用分别代表这三个矩阵，则，原本形式复杂的线性方程组就可以表示成：

{\color{Red} AX=β }

相应的齐次线性方程组就是：

{\color{Red} AX=0 }

这也意味着我们也可以用矩阵的理论去解线性方程组。

2.3.乘积的秩#

我们回过头来再看矩阵乘积：

A·B=\begin{pmatrix}a_{11} &... &a_{1n} \\\vdots & &\vdots \\a_{s1} &... &a_{sn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11} &... &b_{1m} \\\vdots & &\vdots \\b_{n1} &... &b_{nm} \end{pmatrix}

我们把A矩阵的每一个列向量从左到右记作：，现在我们考虑这个的第列是多少，经过计算应该能看出第列为：

\begin{pmatrix}a_{11}b_{1j}+...+a_{1n}b_{nj} \\\vdots \\a_{s1}b_{1j}+...+a_{sn}b_{nj} \end{pmatrix}=b_{1j}\begin{pmatrix}a_{11} \\\vdots \\a_{s1} \end{pmatrix}+...+b_{nj}\begin{pmatrix}a_{1n} \\\vdots \\a_{sn} \end{pmatrix}=b_{1j}α_1+...+b_{nj}α_n

故：

A·B=(α_1,α_2,,...,α_n)\begin{pmatrix}b_{11} &... &b_{1m} \\\vdots & &\vdots \\b_{n1} &... &b_{nm} \end{pmatrix}=(b_{11}α_1+...+b_{n1}α_n\;,\;...\;,\;b_{1m}α_1+...+b_{nm}α_n)

观察可以发现我们实际上就是在用这个行向量去乘了矩阵的每一列.而且的列向量组可以由的列向量组线性表出。于是：

rank(A·B)≤rank(A)

而 ,所以：

rank(A·B)≤rank(B)

我们总结一下：

Tip

3.特殊矩阵#

3.1.基本矩阵/单元素矩阵#

只有一个元素为一，位于第行第列，而其余元素都是 的矩阵，叫做一个基本矩阵/单元素矩阵，记作：

E_{ij}:=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}

由矩阵的加法，我们能知道任何一个矩阵：

A=\begin{pmatrix}a_{11} &... &a_{1n} \\\vdots & &\vdots \\a_{s1} &... &a_{sn} \end{pmatrix}

都可以表示成诸如：

a_{11}E_{11}+...+a_{1n}E_{1n}+...+a_{sn}E_{sn}

的形式，而且显然可知道线性无关。所以以矩阵中每一个元素作为基本矩阵元素的位置构成的这一堆矩阵，就是矩阵的一个基，且

dimM_{s×n}(K)=s×n

特别地，

dimM_{n}(K)=n^2

3.2.对角矩阵#

除主对角线之外的元素皆为的方形矩阵叫对角矩阵（英语：diagonal matrix）。对角线上的元素可以为或其他值。记作

D=\begin{pmatrix} d_1 & & & \\ & d_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & d_n \end{pmatrix}

数域 K 上 n 级对角矩阵组成的集合是的一个子空间 ，对于一般的对角矩阵，有：

\begin{pmatrix} d_1 & & \\ & \ddots \\ & & d_s \end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} γ_1\\ \vdots \\ γ_s \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} d_1γ_1\\ \vdots \\ d_sγ_s \end{pmatrix}

其中是某个矩阵的行向量组。还有：

(α_1,...,α_n)·\begin{pmatrix} d_1 & & \\ & \ddots \\ & & d_n \end{pmatrix}=(d_1α_1,...,d_nα_n)

两个对角矩阵相乘结果仍旧是一个对角矩阵，具体有：

\begin{pmatrix} d_1 & & \\ & \ddots \\ & & d_n \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} c_1 & & \\ & \ddots \\ & & c_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} d_1c_1 & & \\ & \ddots \\ & & d_nc_n \end{pmatrix}

3.2.5.数量矩阵#

主对角线元素都相等的对角矩阵叫做数量矩阵。又叫做纯量阵。记作：

k·I:=\begin{pmatrix} k & & & \\ & k & & \\ & & \ddots & \\ & & & k \end{pmatrix}

取满数域上所有数的数量矩阵构成的集合也是的一个子空间 。

对于任意一个级矩阵：

A·(k·I)=k·(A·I)=k·A

(k·I)·A=k·(I·A)=k·A

因此：

(k·I)·A=A·(k·I)

也就是说，虽然矩阵与矩阵之间的乘法并不满足交换律，但是 数量矩阵与矩阵是的确满足交换率 的。

3.3.三角矩阵#

三角矩阵（英语：triangular matrix）因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。

3.3.1.上三角矩阵#

主对角线左下方的系数全部为零的n级矩阵叫做n级上三角矩阵，常记作：

U=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& 0& \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

同理，他组成的集合也是的一个子空间 。对于上三角矩阵的乘法：

\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& 0& \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n} \\ 0& b_{22}& \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& 0& \cdots & b_{nn} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}& *& \cdots & * \\ 0& a_{22}b_{22}& \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& 0& \cdots & a_{nn}b_{nn} \end{pmatrix}

不细考虑其他元素，上三角矩阵相乘结果还是上三角矩阵，其中主对角线元素为两上三角矩阵元素乘积。

3.3.2.下三角矩阵#

有上三角矩阵，类似的也有下三角矩阵：

L= \begin{pmatrix} a_{11}& 0& \cdots & 0 \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

同理，他组成的集合也是的一个子空间 。对于下三角矩阵的乘法：

\begin{pmatrix} a_{11}& 0& \cdots & 0 \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{11}& 0& \cdots & 0 \\ b_{21}& b_{22}& \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1}& b_{m2}& \cdots & b_{mn} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}& 0& \cdots & 0 \\ *& a_{22}b_{22}& \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ *& *& \cdots & a_{nn}b_{nn} \end{pmatrix}

不细考虑其他元素，下三角矩阵相乘结果还是下三角矩阵，其中主对角线元素为两下三角矩阵元素乘积。

3.4.初等矩阵#

线性代数中，初等矩阵（又称为基本矩阵)是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。常记作 P 具体来说，一个阶单位矩阵经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为阶初等矩阵。

同理，他组成的集合也是的一个子空间 。

初等矩阵具体有以下几类：

考虑单位矩阵：

I=\begin{pmatrix} 1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& & & & \\ & & & \ddots& & & \\ & & & & 1& & \\ & & & & & \ddots& \\ & & & & & &1 \end{pmatrix}

①：我们将其中第行的倍加到第行，（或者把第列的倍加到第列）即记作：

P(j,i(k))=\begin{pmatrix} 1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& & & & \\ & & \vdots& \ddots& & & \\ & & k&\cdots & 1& & \\ & & & & & \ddots& \\ & & & & & &1 \end{pmatrix}

②：我们将其中的第行和第行（或第列和第列）互换，即记作

P(i,j)=\begin{pmatrix} 1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 0& & 1& & \\ & & & \ddots& & & \\ & & 1& & 0& & \\ & & & & & \ddots& \\ & & & & & &1 \end{pmatrix}

③：我们将其中的第行（或第列）乘上一个常数 ，即记作

P(i(c))=\begin{pmatrix} 1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & c& & & & \\ & & & \ddots& & & \\ & & & & 1& & \\ & & & & & \ddots& \\ & & & & & &1 \end{pmatrix}

不难发现，初等矩阵即是将我们已知的 3 种初等变换应用于一单位矩阵的结果。

接下来考虑初等矩阵左乘普通矩阵会发生什么：我们将矩阵以行向量组的方式表出，即：

P(j,i(k))·\begin{pmatrix}\gamma _1 \\\vdots \\\gamma _i \\\vdots \\\gamma _j \\\vdots \\\gamma _s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& & & & \\ & & \vdots& \ddots& & & \\ & & k&\cdots & 1& & \\ & & & & & \ddots& \\ & & & & & &1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\gamma _1 \\\vdots \\\gamma _i \\\vdots \\\gamma _j \\\vdots \\\gamma _s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma _1 \\\vdots \\\gamma _i \\\vdots \\k\gamma _i+\gamma _j \\\vdots \\\gamma _s \end{pmatrix}

也就是说，将一个矩阵左乘一个①型初等矩阵，就可以把矩阵的第行的倍加到第行上,相当于做了对应的初等行变换，效果是一样的。，当然其余型同理。

看完左乘，我们继续看右乘：我们将矩阵以列向量组的方式表出，即：

(α_1,...,α_i,...,α_j,...,α_n)·\begin{pmatrix} 1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& & & & \\ & & \vdots& \ddots& & & \\ & & k&\cdots & 1& & \\ & & & & & \ddots& \\ & & & & & &1 \end{pmatrix}=(α_1,...,α_i+kα_j,...,α_j,...,α_n)

也就是说，将一个矩阵右乘一个①型初等矩阵，就可以把矩阵的第列的倍加到第列上,相当于做了对应的初等列变换，效果是一样的。，当然其余型同理。

于是我们可以总结：将矩阵 A 左乘一包含某初等变换的初等矩阵，其自身将做对应初等矩阵的初等 ==行将矩阵 A 左乘一包含某初等变换的初等矩阵，其自身将做对应初等矩阵的初等 ==行 变换；若右乘一包含某初等变换的初等矩阵，其自身将做对应初等矩阵的初等列 变换。*

Notice：对于初等矩阵，有：

P(j,i(k))^{-1}=P(j,i(-k))，P(i,j)^{-1}=P(i,j)，P(i(c))^{-1}=P(i(c^{-1}))

逆矩阵的定义请看下方第四节.

3.5 对称矩阵#

对于数域上的级矩阵：若有

A^T=A

则称这个矩阵叫做一个对称矩阵，根据转置的定义，显然应该有：。化成矩阵形式，即是形如：

\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

的矩阵，显然能看出来对称矩阵中的右上至左下方向元素以主对角线为轴进行对称。

同理，他组成的集合也是的一个子空间 。

对称矩阵具有如下性质：

①:对于任何级方形矩阵，是对称矩阵。

证：，

②:对角矩阵都是对称矩阵。

③:当且仅当两者的乘法可交换（即）时，两个对称矩阵的积（）是对称矩阵。

3.5.5 斜对称矩阵#

对于数域上的级矩阵：若有

A^T=-A

则称这个矩阵叫做一个斜对称矩阵/反对称矩阵，根据转置的定义，显然应该有：。特别地，若，，化成矩阵形式，即是形如：

\begin{pmatrix} 0& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ -a_{12}& 0& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{1n}& -a_{2n}& \cdots & 0 \end{pmatrix}

的矩阵，显然能看出来在非偶数域中，斜对称矩阵中的主对角线元素皆为。

同理，他组成的集合也是的一个子空间 。

4.矩阵的逆#

4.1 可逆矩阵#

类比我们之前所述的映射的逆，我们定义矩阵的逆为：

设，如果存在，使得：

A·B=B·A=I

我们就称是一个可逆矩阵，称为的逆矩阵，常记作。即有：

A·A^{-1}=A^{-1}·A=I

任意矩阵的逆矩阵是唯一的。

由逆矩阵的定义，有：。注意，只有方阵（n×n的矩阵） 才可能有逆矩阵。若方阵的逆矩阵存在，则称为非奇异方阵或可逆方阵。

4.2 求可逆矩阵的伴随矩阵法#

设一矩阵可逆, 则有: ，所以有，即。反过来说，设，我们要找到一个矩阵，使得它能等于单位矩阵，则我们肯定有：

\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} A_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1} \\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} |A|& 0& \cdots & 0 \\ 0& |A|& \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& 0& \cdots & |A| \end{pmatrix}

其中：是元素的代数余子式，由于，所以有上面的代数关系。我们把找到的这个矩阵称作矩阵的 伴随矩阵 ，记作或。则显然，我们有如下关系：

A·A^*=|A|·I

类似可得：

A^*·A=|A|·I

由于，因此：

A(\frac{1}{|A|}A^*)=I=(\frac{1}{|A|}A^*)A

从而 A 可逆，且

A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}

我们可以总结为以下结论：

定义

数域上的级矩阵可逆满秩，且当 A 可逆时：

A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}

设，如果我们现在只知道，由先前证明可知，故满秩，所以可逆，同理，也可逆，由于，两边同时左乘，有

B=A^{-1}

同理：也能得到：

A=B^{-1}

4.2.5 伴随矩阵补充#

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵（英语：adjugate matrix）是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

A的伴随矩阵是一个的矩阵（记作），使得其第行第列的元素是 A 关于第 j 行第 i 列的代数余子式。简言之，伴随矩阵就是把原来余子矩阵C每一列的代数余子式横着写.

最简单的例子，有：

A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} ，A^*=\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

4.3 可逆矩阵的性质#

若都是可逆矩阵，则：

①：

②：

③：推广：

④： 若可逆，则可逆，且

⑤：

⑥： 级矩阵可逆，则其一定可以通过初等行变换化成单位矩阵

4.4 求可逆矩阵的初等变换法#

由刚刚描述的性质 ⑥ ，对于级矩阵，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵施以初等行变换（初等列变换）就相当于在的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，即

(P_t...P_2P_1)A=I

所以有：

A=(P_t...P_2P_1)^{-1}=P_1^{-1}P_2^{-1}...P_t^{-1}

即：级矩阵可逆等于一些初等矩阵的乘积，证明如上

又设，是级的可逆矩阵,由于：，因此:

rank(PA)=rank[(P_1P_2...P_n)A]=rank(A)

设是级可逆矩阵，有：

rank(AQ)=rank[(AQ)^T]=rank(Q^TA^T)=rank(A^T)=rank(A)

即：用可逆矩阵左（右）乘矩阵，不改变矩阵的秩，证明如上

若可逆，则

(P_t...P_2P_1)A=I

A^{-1}=P_t...P_2P_1I

这两个式子就意味着：我们可以同时对和施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵被变为时，就被变为的逆阵。
这是我们最常用的求逆矩阵的最基本的方法，称为初等变换法。

5.分块矩阵#

一个分块矩阵或是分段矩阵就是将矩阵分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。

换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分。

设一个矩阵，我们将其按行分为个，按列分为个，则就有：

\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1t} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{u1} & \cdots & A_{ut} \end{pmatrix}

其中：

A_{11}=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n_1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{s_11} & \cdots & a_{s_1n_1} \end{pmatrix},...

若我们再设矩阵，则：

AB=\begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1t} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{u1} & \cdots & A_{utn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & \cdots & B_{1v} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ B_{t1} & \cdots & B_{tv} \end{pmatrix}

每个分块都像普通矩阵乘法那样运算，在乘完之后分成了许多的小矩阵乘法，继续算每个小矩阵乘法的结果加起来就是对应分块矩阵乘完对应位置的结果。

5.1.分块矩阵的初等行变换#

①：把第一行左乘可逆矩阵 P 加到第二行

\begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix} 把第一行左乘可逆矩阵 P 加到第二行→\begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ PA_1+A_3 & PA_2+A_4 \end{pmatrix}

②：互换两个块行位置。

③：用一个可逆矩阵 P 左乘某一个块行。

类似的，也有初等列变换，不过需要将左乘变为右乘。

对于我们之前讨论的初等矩阵，我们可以尝试将它分块，一边更好地表达：

考虑单位矩阵：

I=\begin{pmatrix} 1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& & & & \\ & & & \ddots& & & \\ & & & & 1& & \\ & & & & & \ddots& \\ & & & & & &1 \end{pmatrix}

将它化作分块矩阵：

\begin{pmatrix} I & O \\ O & I \end{pmatrix}

①：将其中第块行的倍加到第块行，（或者把第块列的倍加到第块列）可以化为：

\begin{pmatrix} I & O \\ P & I \end{pmatrix}

②：将其中的第块行和第块行（或第块列和第块列）互换，可以化为

\begin{pmatrix} O & I \\ I & O \end{pmatrix}

③：将其中的第块行（或第块列）乘上一个常数 ，可以化为

\begin{pmatrix} P & O \\ O & I \end{pmatrix}

这些化为分块矩阵的初等矩阵叫分块可逆矩阵。且不难看出它们都是可逆矩阵，它们可以用于分块矩阵的初等行变换，这也间接解释了为什么需要左乘。根据先前我们所讲的知识，很容易也能知道：

分块矩阵的初等行（列）变换不改变矩阵的秩

6. 柯西-比内公式#

6.1 引入和证明#

定义

设矩阵，矩阵，若则：

|AB|=0

若，那么等于的所有阶子式以及的相应阶子式的乘积之和，即

|AB|=\sum_{1\le v_1< ...<v_s\le n}^{} A\begin{pmatrix} 1,...,s\\v_1,...,v_s \end{pmatrix}B\begin{pmatrix} v_1,...,v_s\\1,...,s \end{pmatrix}

证明：

情景①：若，，于是不满秩，从而。

情景②：若，考虑：

\begin{pmatrix} A & O \\ I & B \end{pmatrix}

把其的第二块行乘以 -A 加到第一块行，变成：

\begin{pmatrix} O & -AB \\ I & B \end{pmatrix}

从而：

\begin{pmatrix} I_s & O \\ O & I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & O \\ I & B \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} O & -AB \\ I & B \end{pmatrix}

情景②.①：时若，则，从而；若，则可逆，

A=P_1P_2...P_m\;\;→\;\;AB=(P_1P_2...P_m)B

其中：

|P(j,i(k))B|=|B|，|P(i,j)B|=-|B|，|P(i(c))B|=c|B|

特别地，当时，从上述式子得：

|P(j,i(k))|=|I|=1，|P(i,j)|=-|I|=-1，|P(i(c))|=c|I|=c

于是：

|P(j,i(k))B|=|P(j,i(k))|·|B|，|P(i,j)B|=|P(i,j)|·|B|，|P(i(c))B|=|P(i(c))|·|B|

于是：

|AB|=|P_1|·|P_2|·...·|P_m|·|B|

特别地，当时：

|A|=|AI|=|P_1|·|P_2|·...·|P_m|

所以：

|AB|=|A|·|B|

情景②.②：时：依旧考虑：

\begin{vmatrix} I_s & O \\ O & I_n \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A & O \\ I & B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} O & -AB \\ I & B \end{vmatrix}

前者为 1，从而：

\begin{vmatrix} A & O \\ I & B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} O & -AB \\ I & B \end{vmatrix}

将后面那个行列式按第一块行(设第一块行占了行，剩余占了行)展开：

\begin{vmatrix} O & -AB \\ I & B \end{vmatrix}=|-AB|·(-1)^{(1+...+s)+[(n+1)+...+(n+s)]}·|I|=(-1)^{s+sn}|AB|

再考虑前面那个行列式(设第一块行占了行, 列,剩余占了行，列)：

\begin{vmatrix} A & O \\ I & B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}& \cdots & a_{1n}& 0& \cdots& 0\\ \vdots & & \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{s1}& \cdots& a_{sn}& 0& \cdots& 0\\ 1& \cdots& 0& b_{11}& \cdots&b_{1s} \\ \vdots& & \vdots& \vdots& & \vdots\\ 0& \cdots& 1& b_{n1}& \cdots&b_{ns} \end{vmatrix}

设单位子矩阵的列向量记作：我们按前行展开：

\sum_{1\le v_1< ...<v_s\le n}^{} A\begin{pmatrix} 1,...,s\\v_1,...,v_s \end{pmatrix}(-1)^{(1+...+s)+(v_1+...+v_s)}|(ε_{μ_1},...,ε_{μ_{n-s}},B)|

其中令且。化简得：

\sum_{1\le v_1< ...<v_s\le n}^{} A\begin{pmatrix} 1,...,s\\v_1,...,v_s \end{pmatrix}(-1)^{(1+...+s)+(v_1+...+v_s)}|I_{n-s}|B\begin{pmatrix} v_1,...,v_s\\1,...,s \end{pmatrix}(-1)^{(u_1+...+u_{n-s})+[1+...+(n-s)]}

=\sum_{1\le v_1< ...<v_s\le n}^{} A\begin{pmatrix} 1,...,s\\v_1,...,v_s \end{pmatrix}B\begin{pmatrix} v_1,...,v_s\\1,...,s \end{pmatrix}(-1)^{s^2+n^2-ns+n}

将刚刚两个式子带入我们化成的这几个式子，先看项:

\frac{(-1)^{s^2+n^2-ns+n}}{(-1)^{s+sn}}=(-1)^{s^2+n^2-ns+n-s-sn}=(-1)^{s^2+n^2+n-s}=(-1)^{s(s-1)+n(n+1)}=1

刚好为一，消掉了，再把其余项组合：

|AB|=\sum_{1\le v_1< ...<v_s\le n}^{} A\begin{pmatrix} 1,...,s\\v_1,...,v_s \end{pmatrix}B\begin{pmatrix} v_1,...,v_s\\1,...,s \end{pmatrix}

证毕。

6.2 正式介绍#

线性代数中，柯西-比内公式（Cauchy–Binet formula）将行列式的可乘性（两个方块矩阵的行列式等于两个行列式的乘积）推广到非方块矩阵。

这条公式的意义在于将两个不规则的矩阵乘积变成规则方阵的乘积之和，在理论上与其它公式证明中具有巨大意义。

7.矩阵

1.矩阵是什么？#

2.矩阵的运算#

2.1.矩阵的基础运算#

2.2.矩阵的乘法#

2.2.5.矩阵的幂#

2.3.矩阵转置的运算#

2.3.乘积的秩#

3.特殊矩阵#

3.1.基本矩阵/单元素矩阵#

3.2.对角矩阵#

3.2.5.数量矩阵#

3.3.三角矩阵#

3.3.1.上三角矩阵#

3.3.2.下三角矩阵#

3.4.初等矩阵#

3.5 对称矩阵#

3.5.5 斜对称矩阵#

4.矩阵的逆#

4.1 可逆矩阵#

4.2 求可逆矩阵的伴随矩阵法#

4.2.5 伴随矩阵补充#

4.3 可逆矩阵的性质#

4.4 求可逆矩阵的初等变换法#

5.分块矩阵#

5.1.分块矩阵的初等行变换#

6. 柯西-比内公式#

6.1 引入和证明#

6.2 正式介绍#

评论区

音乐

7.矩阵

1.矩阵是什么？#

2.矩阵的运算#

2.1.矩阵的基础运算#

2.2.矩阵的乘法#

2.2.5.矩阵的幂#

2.3.矩阵转置的运算#

2.3.乘积的秩#

3.特殊矩阵#

3.1.基本矩阵/单元素矩阵#

3.2.对角矩阵#

3.2.5.数量矩阵#

3.3.三角矩阵#

3.3.1.上三角矩阵#

3.3.2.下三角矩阵#

3.4.初等矩阵#

3.5 对称矩阵#

3.5.5 斜对称矩阵#

4.矩阵的逆#

4.1 可逆矩阵#

4.2 求可逆矩阵的伴随矩阵法#

4.2.5 伴随矩阵补充#

4.3 可逆矩阵的性质#

4.4 求可逆矩阵的初等变换法#

5.分块矩阵#

5.1.分块矩阵的初等行变换#

6. 柯西-比内公式#

6.1 引入和证明#

6.2 正式介绍#

相关文章

评论区

音乐