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1.古典概型与概率空间

2026年8月13日星期四·#概率论概率论·2554 字 13 分钟·
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简介

古典概型与概率空间

在考虑一个 (未来) 事件是否会发生的时候, 人们常关心该事件发生的可能性的大小.

就像用尺子测量物体的长度、我们用概率测量一个未来事件发生的可能性大小，将概率作用于被测事件就得到该事件发生的可能性大小的测量值.

为了介绍概率, 需要先介绍试验和事件。

1.试验与事件#

1.1 试验#

我们把按照一定的想法去作的事情称为随机试验. 随机试验的简称是 试验 (experiment).下面都是试验的例子，如：

掷一个硬币, 观察是否正面朝上？

*在一副扑克牌中随机抽取两张, 观察是否得到数字相同的一对？ * 考察某商场在一天内来到的顾客数量？

其基本要满足三个基本条件：

1.可在相同条件下重复进行

2.在开始前知道所有可能的结果

3.在开始前不知道本次实验具体是哪一种结果

在概率论的语言中, 试验还是指对试验的一次观测或试验结果的测量过程.

1.2 样本空间#

以抛硬币为例：

久远寺有珠投掷一枚足够薄 的 Diddle Diddle(猫铃), 我们用 表示猫铃正面朝上, 用 表示猫铃反面朝上, 则试验只会有两个可能的结果： 和 。 我们称 和 是样本点, 称样本点的集合 为试验的样本空间.

再比如说，凉宫春日在玩跑团的时候投掷了一个六面骰，用 表示掷出点数 , 用 表示掷出点数 , · · · , 用 表示掷出点数 . 试验的可能结果是 我们也称这 个数 是试验的样本点. 称样本点的集合：

Ω={ω∣ω=1,2,⋅⋅⋅,6}Ω = \left \{ ω | ω = 1, 2, · · · , 6 \right \}

观察这些不同的样本点和样本空间有什么共同点，我们来将它描述为一个更加严谨的语言（为了叙述的方便和明确, 我们把一个特定的试验称为试验 ）：

定义

对于一个普通的试验 ，我们称称试验 的可能结果为样本点(sample point)， 用 表示。

称试验 的样本点构成的集合为样本空间(sample space) ，用 表示。也就是说有：

Ω={ω∣ω是试验S的样本点}Ω = \left \{ ω | ω 是试验 S 的样本点 \right \}

1.3 事件#

回到刚刚投掷一枚骰子的试验，其样本空间是

Ω={ω∣ω=1,2,⋅⋅⋅,6}Ω = \left \{ ω | ω = 1, 2, · · · , 6 \right \}

我们用集合 表示掷出 点, 则 是 的子集. 我们便称 是一个事件.掷出 点, 就称事件 发生, 否则称事件 不发生.

定义

设 是试验 的样本空间. 当 中只有有限个样本点时, 称 的子集为一个事件. 当试验的样本点 (试验结果) 落在 中, 称 事件 发生, 否则称 不发生.

按照上述约定， 子集符号 表示 是事件。 通常用大写字母 或 等表示事件。

用 表示集合 的余集. 则事件 发生和样本点 是等价的, 事件 不发生和样本点 是等价的。

空集 是 的子集。由于 中没有样本点, 永远不会发生，所以称 是不可能事件。 也是样本空间 的子集，包含了所有的样本点, 因而总会发生。我们称 是必然事件。特别地，由一个样本点组成的事件叫做基本事件。

1.3.5 事件与集合#

如果 都是事件, 则以下情景：

A∪B，A∩B，A−B ≜A∩BˉA ∪ B， A ∩ B， A − B \,\triangleq A ∩ \bar{B}

都是事件。也就是说事件经过集合运算得到的结果还是事件。

我们也用 表示 . 当 时，也用 表示 。

当事件 ， 称事件 不相容。 特别称 为 的 对立事件 或 逆事件。如果多个事件 两两不相容： , 就称他们互不相容.

注意，互不相容与后面要讲到的“独立”是完全不同的概念

从以上的叙述看出, 从集合角度看，样本空间 是由试验 的可能结果构成的全集, 样本点 就是 的元素, 事件 就是 的子集.

事件的运算符号和集合的运算符号也是相同的, 例如:

表示事件 相等

发生 等价于 至少 之一发生

(或 ) 发生 等价于 和 都发生

*发生

⋃j=1nAj=A1∪A2∪...∪An\bigcup_{j=1}^{n} A_j=A _1∪A_2∪...∪A_n

表示至少有一个 发生, 发生

⋃j=1∞Aj=A1∪A2∪...\bigcup_{j=1}^{∞} A_j=A _1∪A_2∪...

表示至少有一个 发生*

*发生

⋂j=1n=A1∩A2∩...∩An\bigcap_{j=1}^{n}=A _1∩A_2∩...∩A_n

表示所有的 都发生. 发生

⋂j=1nAj=A1∩A2∩...\bigcap_{j=1}^{n} A_j=A _1∩A_2∩...

表示所有的 都发生.*

事件的运算公式就是集合的运算公式, 例如：

， （交换律）

， （结合律）

， （分配律）

，

对偶公式： ， ，进而有

⋃j=1∞Aj‾=⋂j=1∞Ajˉ    ，⋂j=1∞Aj‾=⋃j=1∞Ajˉ\overline{\bigcup_{j=1}^{∞} A_j}=\bigcap_{j=1}^{∞} \bar{A_j}\;\;，\overline{\bigcap_{j=1}^{∞} A_j}=\bigcup_{j=1}^{∞} \bar{A_j}

2.古典概型与几何概型#

2.1 概率与古典概型#

设 是试验 的样本空间。对于 的事件 ， 我们用 表示 发生的可能性的大小， 称 是事件 发生的概率，简称为 的概率。

其中 ，描述事件发生的可能性的大小。

如果事件 发生的可能性相同，则有 。且用 ， （或 ，） 分别表示事件 和样本空间 中样本点的个数.

定义

设试验 的样本空间 是有限集合， 。如果 的每个样本点发生的可能性相同，即对每个 ，有：

P({ωi})=1nP(\left \{ ω_i \right \} )=\frac{1}{n}

则称：

P(A)=#A#ΩP(A)=\frac{^{\#} A}{^{\#} Ω}

为试验 下 发生的概率，简称为事件 的概率。

能够以上述方式描述的模型称为古典概率模型，简称为古典概型。

2.2 概率的性质#

由于 ，当 时，，所以从定义可以得到概率 的以下性质:

①：对任意事件 A， .（非负性）

②： (规范性)

③：如果 不相容, 则 (可加性)

从以上的性质再得到：

④：如果 互不相容, 则

P(A1+A2+⋅⋅⋅+An)=P(A1)+P(A2)+⋅⋅⋅+P(An)P(A_1 + A_2 + · · · + A_n) = P(A_1) + P(A_2) + · · · + P(A_n)

⑤： ， ，。

2.2.5 利用古典概型计算概率#

  • 列出样本空间所有样本点，一定注意这些样本点应该是可能性完全相同的

  • 计算样本空间样本点个数

  • 计算事件 样本点个数

  • *用公式计算

依旧拿上述那个投骰子的例子来看：掷一个均匀的骰子，用 表示掷出奇数， 表示掷出 。则列出所有样本点，有：.故有：

#Ω=6  ，#A=3  ，#B=1^{\#} Ω=6\;，^{\#} A=3\;，^{\#} B=1

从而有：

P(A)=36  ，P(B)=16P(A)=\frac{3}{6}\;，P(B)=\frac{1}{6}

2.3 计数基础#

2.3.1 排列与组合#

从 个不同元素中有放回地每次随机抽取一个，共抽取 次，有序地记录结果，共有 种等可能的不同结果。

从 个不同元素中无放回地每次随机抽取一个，共抽取 次 ，有序地记录结果，共有

Anm  或  Pnm=n(n−1)...(n−m+1)=n!(n−m)!A_{n}^{m} \;或\;P_{n}^{m}=n(n-1)...(n-m+1)=\frac{n!}{\left( n-m \right)!}

种等可能的不同结果。这个结果被称为一个排列数。

从 个不同元素中无放回地每次抽取一个，共抽取 次 , 不计次序地记录结果 (只要元素相同，不管次序是否相同都算是相同结果) ，共有

Cnm=n(n−1)...(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!C_{n}^{m} =\frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m!}=\frac{n!}{m!\left( n-m \right)!}

种等可能的不同结果。这个结果被称为一个组合数。

2.3.2 分组方式数#

将 个不同元素分成有序号的 组，要求第 组恰好有 个元素 ，分组结果中同组的元素不考虑次序。则这样分组的所有不同分法个数为：

(nn1,n2,...,nk)=n!n1!n2!...nk!\begin{pmatrix}n \\n_1,n_2,...,n_k \end{pmatrix}=\frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}

当随机分组时，这些分法是等可能的。

随机分组的方法是 个元素随机排列 ( 种排法)，然后前 个不计 次序地归入 组，后续 个不计次序地归入 组，以此类推。

2.4 几何概型#

2.4.1 欧式空间中的体积#

用 表示 维欧式空间

Rr={(x1,x2,...,xr)∣xi∈(−∞,∞),i=1,2,...,r}\mathbb{R}^r = \left \{ (x_1, x_2, . . . , x_r)|x_i ∈ (−∞, ∞), i = 1, 2, . . . , r \right \}

对于 的子集 ，用

m(A)=∫Adx1dx2...dxrm(A)=\int_{A}^{} d_{x_1}d_{x_2} . . . d_{x_r}

表示 的体积。更一般地，m(A) 也叫做可测集 的测度。(实变函数)

2.4.2 几何概率#

用 表示试验 的样本空间，当 时，称 的子集是事件。

设样本空间 的体积 是正数，样本点等可能地落在 中 (指 的体积相同的长方体事件发生的可能性相同)，对于 ，称

P(A)=m(A)m(Ω)P(A) = \frac{m(A)}{ m(Ω)}

为事件 发生的概率，简称为 的几何概率。

这样的定义也满足非负性、全空间概率等于 1、可加性三个性质，从而性质 ④ 和 ⑤ 也成立。

1.古典概型与概率空间
https://ovoyage1969o.github.io/Kaguya/posts/PROB1/
作者
铸币大头蓬莱山
发布于
2026-08-13
许可协议
已授权

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