2.概率的公理化

2026年8月14日星期五·#概率论概率论·656 字 3 分钟·

-浏览量

1.概率的公理化#

1.1 概率的广义定义#

一般的古典概型只对样本空间含有限个样本点, 且每个样本点发生的可能性相同的情况定义了概率，为了能够量化表达更加普遍情况的概率问题，下面将概率的定义进行推广：

我们引入如下定义的集合类：

定义

样本空间上的集合类如果满足：

①：

②：若，则

③：若，则

则称集合类为上的代数或域

对于试验的事件 , 我们用之间的数表示事件发生的可能性的大小. 对于每个事件 , 是一个实数. 是事件的函数。

定义于集合之上的取值为实值的函数称为集函数。

定义在域之上的集函数，若它满足如下的 公理化体系：即

①：非负性: 对于任何事件，
②：完全性:
③：可列可加性: 对于互不相容的事件 , 有：

P(\bigcup_{j=1}^{∞} A_j)=\sum_{j=1}^{∞}P(A_j)

则称 P 是试验 S 之为概率(Probability)，不满足公理化条件的不是概率。

而满足上述公理化体系的一个三元组：叫做概率空间

1.2 概率的性质#

由概率的公理化体系，可以得到有关概率的一些性质：

①：
②：有限可加性: 若且两两互斥，则：

P(\sum_{k=1}^{n} A_k)=\sum_{k=1}^{n}P(A_k)

③：可减性: 若且，则

④：单调性: 若且，则

1.3 加法原理#

概率的有限可加性和可列可加性是概率的最基本性质, 由此推出概率的加法公式：

⑤：
⑥：Jordan公式：对任意的 , 有：

P(\sum_{k=1}^{n} A_k)=\sum_{k=1}^{n}P(A_k)-\sum_{i≤i<j≤n}^{n}P(A_iA_j)+\sum_{i≤i<j<k≤n}^{n}P(A_iA_jA_k)-...+(-1)^{n-1}P(A_1A_2...A_n)

⑦：次可加性：对任意的 , 有：

P(\sum_{n=1}^{∞} A_n)≤\sum_{n=1}^{∞}P(A_n)

1.4 概率的连续性#

定义

如果 , 就称事件序列是单调增的；

反之，如果 , 就称事件序列是单调减的.

我们把单调增序列和单调减序列统称为单调序列.

⑧：下连续性：若且，(即为单调增序列)，则

P(\sum_{n=1}^{∞} A_n)=P(\bigcup_{n=1}^{∞} A_n)=\underset{n→∞}{lim}P(A_n)

⑨：上连续性：若且，(即为单调减序列)，则

P(\prod_{n=1}^{∞} A_n)=P(\bigcap_{n=1}^{∞} A_n)=\underset{n→∞}{lim}P(A_n)

通常称这些为单调序列的极限，且对任意的事件：，有：

P(\prod_{k=1}^{∞} A_k)≥P(\sum_{k=1}^{∞} A_k)-n+1

2.概率的公理化

1.概率的公理化#

1.1 概率的广义定义#

1.2 概率的性质#

1.3 加法原理#

1.4 概率的连续性#

评论区

音乐

2.概率的公理化

1.概率的公理化#

1.1 概率的广义定义#

1.2 概率的性质#

1.3 加法原理#

1.4 概率的连续性#

相关文章

评论区

音乐