3.条件概率与独立性
简介
条件概率与独立性
0.又一次以骰子为例
帕秋莉掷一个骰子, 已知掷出了偶数点, 考虑掷出的是 的概率：
用 表示掷出偶数点, 表示掷出 .
已知 发生后试验的条件已经改变。在新的试验条件下 成为样本空间， 的样本点具有等可能性, 是 的子集，, 。 所以, 用 表示要求的概率时：
我们便称 是已知 发生的条件下, 发生的概率。
1.条件概率
1.1 条件概率的定义
定义
设 是事件, 以后用 表示已知 发生的条件下, 发生的条件概率, 简称为条件概率 (conditional probability).
更一般地，设概率空间 ， 满足 ,对任何的 ，取：
作为 上之 的集函数，则 满足概率的公理化体系定义，也称 为已知事件 发生后 的条件概率
1.2 乘法公式
设概率空间，有： , 则有：
①：
②：当 , 有：
2.事件的独立性
2.1 两个事件独立
假设 是试验 下的事件， 是试验 下的事件，且 的发生与否不影响 的发生。用公式表述出来就是 。(设 )。
再用乘法公式得到 . 此式表示事件 , 相互独立, 不要求 。
定义
如果事件 满足 ，就称 相互独立，简称为 独立 (independent). 且：
不可能事件, 必然事件与任何事件独立。这是因为 , 总成立。
当 时, 独立当且仅当 , 即 的概率不受已知 是否发生的影响
2.2 多个事件独立
定义
1.如果对任何 ，有：
则称事件 相互独立.
2.如果对任何 ，事件 相互独立。称事件 相互独立
3.称 是独立事件列, 如果 相互独立
2.3 事件独立的性质
①： 独立当且仅当 独立.
②：设 相互独立, 则有如下的结果：
对 ， 相互独立
用 表示 或 , 则 相互独立
相互独立
相互独立