3.1 线性方程组的矩阵消元法#
3.1.1 阶梯形矩阵/方程组#
看一个例子，对于方程组：
⎩⎨⎧x1+3x2+x3=23x1+3x2+x3=9−x1−5x2+4x3=102x1+7x2+x3=1对于初高中所学的知识，我们习惯于用四项式子相消，化简成不同的新方程来求解每个未知量。不过在化简的过程中也存在简便技巧，我们尽可能地认为将方程组化简成阶梯状的形式是理想的。如：
13−1233−57114129101经过每行相互加减的变换，我们期望他变成：
100031001−1302−360的形式，这种矩阵也叫阶梯形矩阵(REF)。如此一来，转化成方程组形式就有：
⎩⎨⎧x1+3x2+x3=2x2−x3=−33x3=6这种方程组也叫=阶梯型方程组=。我们从下一直往上带入求解，很容易就能把每个未知数求出。
[!abstract]
阶梯形矩阵有如下特点：
-
（ 行,即一整行全是零的行） 行在下方。
-
主元（某行第一个非零的元素）的列指标随着行指标的增加而严格增大
将该方程组化作最简形式，对于矩阵而言即为：
1000010000103−120这种矩阵叫做简化行阶梯矩阵（RREF）,RREF有如下特点：
]]】
以上我们对矩阵进行的变换可以归纳为统一的形式：
3.1.2 矩阵的初等行变换#
矩阵的初等行变换主要有以下几种：
1.把一行的倍数加到另一行
2.两行进行互换
3.某一行乘以一个非零数
这些变换不改变矩阵对应方程组的解，即矩阵的初等行变换得到的方程组与原方程组是同解的。
3.1.3 线性方程组解的情况以及判别方式#
对于一个普通的线性方程组，共至少分为无解，有无穷解，仅有一解几种情况，我们通过不同的例子来分析：
[!example 1]
对于方程组：
⎩⎨⎧x1−x2+x3=1x1−x2−x3=32x1−2x2−x3=3通过初等行变换去改变增广矩阵，将其变为阶梯形矩阵，有：
100−1001101−1−2我们发现对于该矩阵的最后一行 ,其对应的方程 显然是无解的，而又因为该方程无解，所以此增广矩阵对应的方程组是无解的。
[!example 2]
对于方程组：
⎩⎨⎧x1−x2+x3=1x1−x2−x3=32x1−2x2−x3=5通过初等行变换去改变增广矩阵，将其变为阶梯形矩阵，有：
100−1000102−10对于该矩阵的第一行 ,其对应的方程 无法得出具体唯一的数值，所以 有无穷多个解，而又因为该方程有无穷多个解，所以此增广矩阵对应的方程组是有无穷多个解的。对于此例，常记作
{x1=x2+2x3=−1其中 是自由未知量（主变量以外的未知量）， 叫做主变量（以主元为系数的未知量），上述常记的方程组称为原方程组的一般解，其特点是等号左侧皆为主变量，右侧为自由变量及其关系
通过上述例子，我们可以总结推广以下规律：
总结：在有理数集（或实数集，复数集）内， 元线性方程组的解的情况有且只有三种可能：“无解，有唯一解，有无穷多解”。
把线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形，相应的阶梯形的方程组如果出现“ ”(其中 是非零数)，那么原方程组无解；否则，原方程组有解.
有解状态下，若阶梯形矩阵的非零行的数目 (未知量的数目)，则原方程组有唯一解，而若 ，则原方程组有无穷多个解。
[!tips] 证明
对于 元线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化为阶梯形矩阵 , 我们设 有 个非零行，显然 有 列,最后一个非零行就是第 行.
情形1： 出现“ ”(其中 是非零数)，那么原方程组无解；这是显然的，因为一个非零常数绝对不可能等于零，出现即代表无解。
情形2： 未出现“ ”(其中 是非零数)，那么那么 的第 个主元 不能位于第 列，因此 ，又有 ,也就是说 。设简化后的行阶梯矩阵为,不难看出 也有 个非零行，从而 有 个主元.以下又会分两种情况：
情景2.1：当 时，此时 有 个主元,刚好能够填满每一列:
J1=10⋮0001⋮00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅00⋮10c1c2⋮cn0其化作方程组的话即为：“”,故而 是原方程的唯一解。
情景2.2：当 时，此时 达不到 个主元:
我们设从第二个主元开始的第 个主元所在的列数为 .将剩余的 个自由未知量记作，则有：
⎩⎨⎧x1=b11xi1+b12xi2+...+b1,n−rxin−r+d1xj2=b21xi1+b22xi2+...+b2,n−rxin−r+d2⋮xjr=br1xi1+br2xi2+...+br,n−rxin−r+dr由于，自由未知量是必然存在的，自由未知量一旦存在，自由未知量不唯一，主变量就不会被唯一确定，原方程组就有无穷多个解。
Q.E.D
3.2 元齐次方程组解的结论#
方程组中无常数项，形如以下结构的线性方程组叫做齐次线性方程组：
⎩⎨⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+...+a2nxn=0...an1x1+an2x2+...+annxn=0(1)很显然 是方程组 的一个解，称作零解，其余的解（如果有）被称为非零解，且如果有非零解，则该方程一定有无穷多个解。
推论：
-
元齐次线性方程组有非零解 系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯型矩阵的非零解数目
-
元齐次线性方程组，若它的方程个数 ,则它有非零解
3.3 数域#
复数域的一个非空子集 如果满足：
·
·
·
则称 是一个 数域。
常见的数域有 (有理数域), （实数域） , （复数域）等。有理数域是最小的数域，复数域是最大的数域
3.4 与下一章的衔接#
虽然我们的确找出一种系统的方法来判断线性方程组解的情况，不过我们仍然需要化简增广矩阵，随后分情况判断，依旧有些麻烦，有没有一种更加简便的方法？
我们仍旧先从二元方程组开始讨论：
{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2(1)其中 不全为零，不妨设 .我们先来按照前面化简的步骤来化简：
(a110a12a22−a11a21a12b1b2−a11a21b1)其中 化简为 ,又能分解成两种情况：等于零和不等于零的情况
情景1： 时，有唯一解。
情景1： 时，出现“”，有无穷多解或无解。
由此可见式子 是很重要的式子，我们将这个式子改写成另一种形式：
a11a21a12a22=a11a22−a21a12这就是我们下一节要介绍的二阶行列式。行列式不为零，则方程组有唯一解，反之有无穷多解或无解。
