在前面几讲，我们讨论的都是方程数量与未知数数量相等的情况下，解的情况的讨论，我们知道了可以用行列式来讨论

然而，若方程数量与未知数数量不相等，长方形矩阵无行列式，我们又该如何做呢？这引入了我们接下来要学习的知识：

对于 (其中（数域） ) 组成的一个元有序数组 , 我们令这个集合定义作。即：

K^n : = \left \{ (a_1,a_2,...,a_n)|a_i∈K ,i=1,2,...,n\right\}

并且规定：

(a_1,a_2,...,a_n)=(b_1,b_2,...,b_n)\Leftrightarrow a_i=b_i\;,i=1,2,...,n

这样的集合里的元素，我们称之为一个 n 维向量。很自然地，我们有如下定义：

加法：

(a_1,a_2,...,a_n)+(b_1,b_2,...,b_n)=(a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)

数量乘法：

k(a_1,a_2,...,a_n): =(ka_1,ka_2,...,ka_n)

零向量：始点与终点重合，即大小为的向量，被称为零向量（Zero vector）。

以上面的加法和数乘法延伸出的运算法则各有四条，在下面会具体列出，如负向量，等等等等。这八条运算法则似乎在很多场景下都有他的身影。譬如：

平面上以定点 0 为起点的所有向量组成的集合。

或：直线上以定点 0 为起点的所有向量组成的集合。

…

发现规律，抽象出数学模型是我们第一想到的本源规律，我们开始考虑是否可以将这八条规律总结出来，并抽象成一个数学定义来囊括所有包含此问题的规律

我们从几何角度来考虑，以上的例子不管是平面，直线，他们都离不开一个词——线性。

再看元素之间的关系，元素之间加加减减，乘乘分分，不同的运算使得浅薄的元素构成了一整个空间，将这两个词组合起来，我们便得到了这个规律的名字——

1.线性空间#

数学概念中最重要的两个概念就是集合和映射，我们将从这两个方面来定义线性空间。

映射的概念

映射是数学中描述两个非空集合间元素对应关系的术语

设是两个非空集合，若对中的任一元素，依照某种规律或法则中***唯一*** 确定的元素与之对应：

其中：

是收敛箭号、射向符号、映射符号，俗称**“右向箭号”** ，用于定义函数架构，连接定义域至陪域；作用对象是集合与集合之间，不涉及具体的数字计算。读作“(从)…到…”（(from) … to …），数学语义是“映射”。

是映射值箭号、元素映射号，俗称**“带杠箭号”** ，用于定义元素关系，指明自变量到因变量；作用对象是元素与元素之间，涉及运算结果或表达式。读作“…映射到…”（… maps to …），数学语义是“赋值”。

则称此对应规律或法则为一个从到的***映射*** 。并且，称集合为映射的定义域(domain) ，集合为映射的到达域/陪域(codomain)；称为在下的像，记作 ; 为在下的**一个** 原像。记作：

此外，称集合为映射的**值域** ，也称为在作用下的 像(image)。记作：，其中

若，则称为一个***满射*** 。
若中不同元素在下的像不同，则称为单射。
若既是单射又是满射，则称为一个***双射***。

我们进行如下定义：

定义：称为与的 笛卡尔积。非空集合上的一个 代数运算 是指到的一个映射。

通过以上的铺垫，我们终于能开始定义线性空间到底是什么了：

1.1.线性空间的定义#

设是一个非空集合，是一个数域，如果上有一个运算，称为加法，即

(α,β)\;{\displaystyle \mapsto}\;α+β

且数域与之间存在一个运算，称为数量乘法，即

K × V →V:(k,α)\;{\displaystyle \mapsto}\;kα

且满足下列 8 条运算法则：

对（加法交换律）

（加法结合律）

中有一个元素，记作，它有下述性质：

对

则把称为的零元。

对于，有使得，则把称作的负元

对

对

对

对

那么就称为数域上的一个 线性空间，中的一个元素称为一个向量，所以线性空间也叫做 向量空间。

之前我们提到的：平面上以定点 0 为起点的所有向量组成的集合。 就是一个例子，它的名字叫几何空间。

我们来看另一个例子：非空集合到实数域的映射称为上的一个 实值函数 。规定：

(f+g)(x):=f(x)+g(x)，∀x∈X

(kf)(x):=kf(x)，∀x∈X,k∈\mathbb{R}

零函数：

0(x):=0，∀x∈X

容易验证我们这样一个是上的一个线性空间，称作 函数空间

1.2.线性空间的性质#

设是数域上的一个线性空间：

Tip

的零元是唯一的

证明

设 , 都是的零元，则由零元的定义，有：

0_1=0_1+0_2，0_2=0_1+0_2

所以

Q.E.D

Tip

每个 的负元是唯一的

证明

设 , 都是的负元，则由负元的定义，有：

β_1+(α+β_2)=β_1+0=β_1

(β_1+α)+β_2=β_2+0=β_2

由加法结合律：

Q.E.D

Tip

对每个 *有

0·α=0

其中前一个指代数零，后一个指零元

证明

我们用来表示零元。

0·α=(0+0)·α=0·α+0·α

在等式两边加上负元 , 得

0·α+(-0·α)=(0·α+0·α)+(-0·α)

0^{'}=0·α+(0·α-0·α)=0·α

Q.E.D

Tip

对每个 *有

k·0=0

其中所有的都指零元

证明

我们用来表示零元。

k·0^{'}=k(0^{'}+0^{'})=k·0^{'}+k·0^{'}

从而：

k·0^{'}+(-k·0^{'})=(k·0^{'}+k·0^{'})+(-k·0^{'})

于是：

k·0^{'}=0^{'}

Q.E.D

Tip

*若 *，则

k=0 \;或\;α=0^{'}

证明

我们用来表示零元。假设 ,则：

α=1·α=(k^{-1}k)α=k^{-1}(kα)=k^{-1}0^{'}=0^{'}

Q.E.D

Tip

对每个 有

(-1)α=-α

证明

我们用来表示零元。

α+(-1)·α=1·α+(-1)·α=[1+(-1)]α=0·α=0^{'}

Q.E.D

2.线性子空间#

设是数域上的一个线性空间，是的一个非空子集，如果对于的加法和数量乘法也成为数域上的一个线性空间，那么称是的一个 线性子空间。

且能够推出：

若，则。( 对于的加法是封闭的)
若，则。( 对于的数乘封闭)

这是显然的，而不显然的是这两个定理是否是为的子空间的必要条件，这件事是我们需要证明的：

证明

由子空间的定义得到：的加法和数乘限制到上，就是的加法和数乘。显然验证能证明八条法则中的都显然成立，我们主要看第三第四条是否成立：

3.由于，因此有，从而

4.对于每个，

从而称为数域上的一个线性空间。于是是的一个子空间。

Q.E.D

因此我们能得到线性子空间的判定定理：

Tip

的非空子集是其一个线性子空间 **等价**于：

若，则。( 对于的加法是封闭的)
若，则。( 对于的数乘封闭)

证明如上.

那么，以下几个空间显然是的子空间：

{ } , 常简记为
对于 向量组 ，有，我们将记作向量组的一个 线性组合。将的所有线性组合集合成一个新集合，不难发现对于的加法和数乘封闭。那么就是的一个线性子空间。

刚刚探讨的这个新集合是向量组生成的一个子空间，简称为 生成子空间，常记作为：

< α_1,α_2,...α_s>\;或\; L(α_1,α_2,...α_s)\;或\;Span(α_1,α_2,...α_s)

就等价于存在中的一组数，使得

β =l_1α_1+l_2α_2+...+l_sα_s

此时我们就称可以由向量组 线性表出。

现在我们就可以用刚刚学习的这一点知识再回头去看线性方程组的问题：

对于数域上的元线性方程组:

\left\{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_1 \\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_2 \\\cdots \\a_{s1}x_{1}+\cdots +a_{sn}x_{n}=b_s \end{matrix}\right.

自从高中以来，我们一直都习惯于横着一行一行地标向量，如：等等，我们将这种向量叫做 行向量 ，不过现在我们需要换个视角看世界，我们看这个方程组每一列的系数所组成的向量，譬如：

\begin{pmatrix}a_{11} \\a_{21} \\\vdots \\a_{s1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{12} \\a_{22} \\\vdots \\a_{s2} \end{pmatrix}......\begin{pmatrix}a_{1n} \\a_{2n} \\\vdots \\a_{sn} \end{pmatrix}

我们分别将他们记作它们被叫做 列向量，那么上述的那个线性方程组可以重新写成：

x_1α_1+x_2α_2+...+x_nα_n=β

我们之前讨论的线性方程组有解，实际上就是要讨论有解。即有中一组数，使得

c_1α_1+c_2α_2+...+c_nα_n=β

也就是我们上面说的: 可以由列向量组线性表出。也就是说当且仅当：时有解。

为了具体解决这个问题，我们接下来要主要研究的问题就是 线性空间和其子空间的结构。这是我们的主线任务。

3.线性相关#

还是以高中数学为例，平面中以为定点的平面向量显然是有无限多个，不过我们只需要知道其中的两个不共线的向量，其余的向量就都可以被我们表示出来。我们用代数语言来把共线和不共线来描述出来：

共线：

与共线：，其中。即。
与共线：，其中。即。
从而与共线等价于有不全为零的实数，使得 :

k_1\vec{c}+k_2\vec{a}=0

不共线：

与不共线：从可推出

k_1=k_2=0

由于向量共线，我们称共线的向量组是 线性相关 的，同理，不共线的向量组是 线性无关 的。定义如下：

设是数域上的一个线性空间，中的一个向量组，如果有中不全为 0 的数使得：

k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0

那么称向量组 线性相关。否则，即如果从方程可以推出：

k_1=k_2=...=k_s

那么 线性无关。

我们来用这个再去解释一下线性方程组：

[!abstract] 1.在中，列向量组线性相关就等价于有种不全为的数使得，即上的元齐次线性方程组 : 有非零解。
从而中，列向量组线性无关就等价于齐次线性方程组 : 只有零解。

由此可以得出

[!abstract] 1.在中，列向量组线性相关就等价于以为列向量组的矩阵的行列式为
从而中，列向量组线性无关就等价于以为列向量组的矩阵的行列式不为

3.5.线性相关/无关的性质#

设是数域上的一个线性空间：

Tip

单个向量组成的向量组如果 线性相关，则必有 使得，也即。

从而单个向量组成的向量组 如果 线性无关 ，则必有 。

Tip

对于向量组 ，如果有一个 部分组 线性相关，那么整个向量组也线性相关。

从而向量组 ，如果线性无关，那么 的任何一个部分组都线性无关

Tip

含有 向量的任何一个向量组都是线性相关的。

Tip

向量组 。线性相关，则：其中至少有一个向量是可以由其余向量线性表出的。逆命题亦成立

从而向量组 。线性无关，则：其中每一个向量都不可以由其余向量线性表出。

证明

由线性相关的定义：有中不全为 0 的数使得：

k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0

那么称向量组 线性相关。我们将上式移项得：

\alpha _i=-\frac{k_1}{k_i} \alpha_1-...-\frac{k_{i-1}}{k_i} \alpha_{i-1}-\frac{k_{i+1}}{k_i} \alpha_{i+1}-...-\frac{k_s}{k_i} \alpha_s

“” 得证；
设

\alpha _j=l_1 \alpha_1+...+l_{j-1} \alpha_{j-1}+l_{j+1} \alpha_{j+1}+...+l_s \alpha_s

则：

\mathbf{0}= l_1 \alpha_1+...+l_{j-1} \alpha_{j-1}-\alpha _j+l_{j+1} \alpha_{j+1}+...+l_s \alpha_s

因此向量组 线性相关 “” 得证；

Q.E.D

Tip

设可以向量组线性表出，则表出方式唯一等价于线性无关

Tip

设线性无关，如果：线性相关，那么可以由线性表出

4.极大线性无关组#

我们现在已经知道：给定一个线性空间，我们可以生成出一个子空间

< α_1,α_2,...α_s>=\left \{ k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s|k_i∈K， i=1,2,...,s \right \}

当线性相关时，我们渴望在线性表出时，则表出方式是唯一的，但是显然由上面的性质得到，这个不可能是唯一的。那我们退而求其次：我们寻找一 部分组，使得这个部分组线性无关，而且的每一项，都可以由这个部分组 线性表出。这种部分组，我们称之为向量组的 极大线性无关组，定义如下：

我们称向量组的一个 部分组 称为该向量组的一个 极大线性无关组，其中部分组满足：

这个部分组线性无关（不共线）。

从向量组的其余向量（如果有）中任取一个添加进来得到的新部分组都是线性相关（共线）的，即向量组中的任意向量都可以由部分组线性表示。

不过我们能显然发现，这些极大线性无关组也是不唯一的，如果我们想要将不同的极大线性无关组联系起来，首当其冲的连接媒介考虑的就是原向量组。

不妨设向量组的一个极大线性无关组为由于，因此极大线性无关组的任何一个向量可以由原向量组线性表出。

反之，是绝对可以由线性表出的（理由同上），而，也就是极大线性无关组以外的元素是否还能用线性表出呢？

根据我们极大线性无关组的定义，我们新添加一个向量，则：一定是线性相关的，但是本身是线性无关的，由，一定可以由线性表出。因此的每一个向量都可以由线性表出。

Tip

若向量组的每一个向量都可以由线性表出，则称向量组可以由线性表出。

若向量组和向量组可以互相线性表出*，则称向量组和是等价的。*记作：

\left \{ α_1,α_2,...α_s \right \} \cong \left \{ β_1,β_2,...β_r \right \}

向量组和它的任何一个极大线性无关组等价.

接下来我们要讨论的就是向量组等价的性质：

4.5.向量组等价的性质#

Tip

每个向量组与它自身等价。也称作向量组的*反身性** *

Tip

*若，那么也称作向量组的 对称性 *

Tip

*若，且则：也称作向量组的 传递性 *

通过这上面三个性质，由向量组等价的定义，我们也可以知道如下性质：

Tip

*向量组的任何两个极大线性无关组是相互等价的 *

我们再看极大线性无关组还有什么性质：

对于平面上的五个不共线的向量组成的向量组，很显然可以由线性表出，而且线性相关，其中有三个向量，另一个只有两个，，于是我们猜测如下结论：

设向量组可由向量组线性表出，如果，那么一定线性相关

证明

由已知：

β_1=a_{11}α_1+...+a_{s1}α_s

......

β_r=a_{1r}α_1+...+a_{sr}α_s

为了使线性相关，需要找一组数：使得：

x_1β_1+x_2β_2+...+x_rβ_r=0

我们将上面的式子带入上式：

x_1(a_{11}α_1+...+a_{s1}α_s)+...+x_r(a_{1r}α_1+...+a_{sr}α_s)

=(a_{11}x_1+...+a_{1r}x_r)α_1+...+(a_{s1}x_1+...+a_{sr}x_r)α_s

考虑方程组：

\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+...+a_{1r}x_r=0 \\...... \\a_{s1}x_1+...+a_{sr}x_r=0 \end{matrix}\right.

由已知条件：，方程个数小于位置量个数，因此该方程组必有解，我们取其中的一组非零解则：

k_1β_1+k_2β_2+...+k_rβ_r=0

所以一定线性相关。

Q.E.D

逆否命题也是一样：

设向量组可由向量组线性表出，如果线性无关，那么。

也就是说我们又能知道：

等价的线性无关的两个向量组所含的向量的个数相同。

证明

已知：

\left \{ α_1,α_2,...α_s \right \} \cong \left \{ γ_1,γ_2,...γ_m \right \}

由于可以由线性表出，因此。又由于可以由线性表出，因此。
所以

s=m

Q.E.D

以及：

向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量的个数相等。

我们发现向量组的极大线性无关组的元素个数似乎是一个经常被提到的关键字，我们不妨将它定义的更简单一点：

5.向量组的秩#

向量组的任意一个极大线性无关组 所含向量的个数，称为向量组的 秩(rank) 。常记作：

rank\left \{ α_1,α_2,...α_s \right \}

只含的向量组的秩规定为数。
很显然，向量组线性无关就意味着

若向量组可以由向量组 线性表出 ，则根据线性表出的传递性：的一个极大线性无关组可以以由向量组的一个极大线性无关组 线性表出 ，由之前的性质，所含向量的个数所含向量的个数，也即：

rank(Ⅰ)≤rank(Ⅱ)

由此我们也可以推出：等价 的两个向量组具有 相等的秩 。

6.线性空间的子集#

设是数域上的线性空间，则的一个有限子集线性相关向量组线性相关，这很显然，完全是根据定义就能知道的事情，不再多讲
然而对于一个的无限子集，它线性相关又代表着什么呢？
类似于我们高中学习的无穷等比数列求和，我们常用极限来讨论这个问题，极限的语言常常用距离这一指标来描述数学原理。所以我们如果想讨论这个无限子集，必定要想办法将它和“距离”联系起来，但是这个联系距离似乎非常难，因为 线性空间目前并没有度量 的概念，我们只能尝试将无限化有限：
我们先去类比向量组：先前说过，向量组的一个部分组线性相关则，该向量组线性相关。则我们有感觉：

的无限子集 有一个 有限子集 是线性相关的，则 *是线性相关的，反之 的无限子集 是线性无关的，则其任何一个有限子集都是线性无关的

顺便一提，空集是定义为线性无关的

由以上的定义，我们终于可以真正地研究线性空间的结构了，先举个例子：

对于平面，其上不共线的两个向量，这个平面上任意一个向量都可以由线性表出，故而知道了，整个平面的结构就算是知道了，这种向量我们定义它为平面的一个基。

7.向量组的基#

设是数域上的线性空间，的一个子集如果满足：

是 线性无关 的

中任意一个向量可以由中的有限多个向量 线性表出 。

那么称是的一个 基(basis)

由定义，若 ,则向量组就是的一个（有序）基；的一个基是空集。

若有一个基是有限子集，则称是 有限维 的；若有一个基是有限子集，则称是 无限维 的

7.1.向量组基的部分性质#

Tip

对于任何一个数域上的任何一个线性空间都有一个基

这个证明极其复杂，在这里先不去证。

Tip

若是有限维的，则的任意两个基所含向量的个数是相等的

证明

设有一个基是，任取的另外一个基

假如所含的向量的个数大于，则中可取个向量:

β_1,β_2,...β_{n+1}

由于是基，所以可以由线性表出，由此根据上述定理，一定线性相关，这与是基是矛盾的，所以:

|s|≤n

反之同理，设为，其中，则

\left \{ α_1,α_2,...α_n \right \} \cong \left \{ β_1,β_2,...β_m \right \}

由于：等价的线性无关的两个向量组所含的向量的个数相同。 所以

Q.E.D

Tip

若是无限维的，则的任意一个基都是无限子集

证明

设有一个基是

\left \{ α_1,α_2,...α_n \right \}

则由，该空间必有一个基的向量个数是，于条件矛盾，所以必须都是无限子集。

Q.E.D

经过如此的证明，我们也发现线性空间的基所含向量的个数，这一个指标似乎也经常会被我们用到，我们不妨也将它做一个新的定义：

8.向量组的维#

设是有限维的，则我们把的 任何一个基所含向量的个数 称为这个线性空间的 维数(dimension) ，记作:

dim_KV \;或\; dim V

其中代表数域。

设是无限维的，则我们把的维数记作：

dimV=∞

的维数为 .

8.1 向量组维的部分性质#

Tip

设 , 则中任意个向量都线性相关.

证明过程同基的性质证明。

Tip

设 , 取的一个基 (线性无关)，则中任一向量就有：

α=a_1α_1+a_2α_2+...+a_nα_n

且表出方式唯一。而且我们定义：

\begin{pmatrix}a_{1} \\a_{2} \\\vdots \\a_{n} \end{pmatrix}

为在基下的 坐标。

从看完这个定义开始，今后我们写坐标这一概念的时候，最好将它像这样 竖着以列写分量 ，而不是再像高中那样以行写

我们来看一个例子：对于一个 几何空间 ，以同一起点出发的三条不共面向量：（线性无关），对于空间中任意一个向量，它总可以由线性表出，而且表出方式唯一。则这三个不共面的向量是几何空间的一个基，从而几何空间是三维的。同理，过定点的平面 是二维的 。过定点的直线 是一维的 。

（要注意，不过顶点的就不是线性空间，因为它的加法和数乘是不封闭的）

再来看一个例子：在数域中，向量组：

ε_1=\begin{pmatrix}1 \\0 \\\vdots \\0 \end{pmatrix}，ε_2=\begin{pmatrix}0 \\1 \\\vdots \\0 \end{pmatrix}，...，ε_n=\begin{pmatrix}0 \\0 \\\vdots \\1 \end{pmatrix}

是线性无关的，且我们对于中任意一个向量，显然有：

α=\begin{pmatrix}a_{1} \\a_{2} \\\vdots \\a_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1} \\0 \\\vdots \\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 \\a_{2} \\\vdots \\0 \end{pmatrix}+...+\begin{pmatrix}0 \\0 \\\vdots \\a_{n} \end{pmatrix}

=a_1ε_1+a_2ε_2+...+a_nε_n

因此是数域的一个基，通常称为 标准基 ，在基下的坐标就是：

\begin{pmatrix}a_{1} \\a_{2} \\\vdots \\a_{n} \end{pmatrix}=α

通过上面两个例子，我们有如下猜测：

Tip

设 , 则中任意个线性无关的向量都是的一个基。

证明

设线性无关。任取加入向量组中，变为：。根据，这个向量是线性相关的。

而且可以由线性表出，因此是的一个基

Q.E.D

Tip

设 , 若中每一个向量都可以由向量组线性表出，则是的一个基。

证明

由已知得，可以由线性表出，于是：

n=≤rank\left \{ δ_1,δ_2,...,δ_n \right \}≤rank\left \{ α_1,α_2,...α_n \right \}≤n

所以：

rank\left \{ α_1,α_2,...α_n \right \}=n

从而：

α_1,α_2,...α_n \;线性无关

因此是的一个基。

Q.E.D

Tip

设 , 若中任意一个线性无关的向量组都可以扩充为的一个基。

Tip

设 , 若是中d的一个子空间，则有：。若则有

证明

中取一个基，它可以扩充成的一个基:

α_1,α_2,...α_m,α_{m+1},...,α_n

同理

Q.E.D

9.向量空间之于线性空间#

向量空间是线性空间这样一个抽象概念的具体情况，我们之前都是以向量空间为例来看看这些定义的，接下来我们将其抽离出来，不带向量元素，以纯线性空间的概念来做以上的定义：

9.1.基#

设是数域上的线性空间，的一个子集如果满足：

是 线性无关 的

对于 (若有的话)，有线性相关

那么称是的一个 极大线性无关集 。
是的一个 极大线性无关集 当时，是的一个 基(basis)。

很显然，空集是的一个极大线性无关集，但不是一个基。

9.2.生成子空间#

对于生成子空间，由线性无关的传递性，的一个极大线性无关组可以表出的任何一个元素，又因为其为线性无关的

所以， 的一个极大线性无关组就是的一个基。

从而 :

dim<α_1,α_2,...α_s> \,= \,rank\left \{ α_1,α_2,...α_s \right \}

且有如下命题：

若则：，反之亦然。

5.线性空间其一

1.线性空间#

1.1.线性空间的定义#

1.2.线性空间的性质#

2.线性子空间#

3.线性相关#

3.5.线性相关/无关的性质#

4.极大线性无关组#

4.5.向量组等价的性质#

5.向量组的秩#

6.线性空间的子集#

7.向量组的基#

7.1.向量组基的部分性质#

8.向量组的维#

8.1 向量组维的部分性质#

9.向量空间之于线性空间#

9.1.基#

9.2.生成子空间#

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5.线性空间其一

1.线性空间#

1.1.线性空间的定义#

1.2.线性空间的性质#

2.线性子空间#

3.线性相关#

3.5.线性相关/无关的性质#

4.极大线性无关组#

4.5.向量组等价的性质#

5.向量组的秩#

6.线性空间的子集#

7.向量组的基#

7.1.向量组基的部分性质#

8.向量组的维#

8.1 向量组维的部分性质#

9.向量空间之于线性空间#

9.1.基#

9.2.生成子空间#

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