1.引入#

由上一节继续：对于二元线性方程组：

\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{matrix}\right.\qquad\qquad(1)

该方程组的系数矩阵为：

A=\begin{pmatrix}a_{11} &a_{12} \\a_{21} &a_{22} \end{pmatrix}

是一个二级矩阵，我们令：

\begin{vmatrix}a_{11} &a_{12} \\a_{21} &a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}

则等式左侧称作一个二阶行列式(Determinant)。也称为矩阵 A 的行列式，记作或。

用这个可以解决上一讲方程组解的判别问题。我们期望可以研究不止二阶的方程组的解判别问题，很自然的我们考虑阶行列式的情况。

2. 阶行列式#

2.1 预备知识#

元排序#

对于个自然数（或个不同的正整数）, 它的一个全排列称为一个n 元排列。
从而（或个不同的正整数）形成的元排列有个。
如: 元排列有，，，，， .
现在看一个例子：对于 4 元排列：2413 其中按照从左到右，顺序（从小到大）的数对有：24，23 。逆序（从大到小）的数对有：21，43，41，31 。
其中逆序的数对的数目成为这个排列的逆序数，记作:
逆序数是偶（奇）数的排列称为偶（奇）排列
若将该偶排列 2431 中的 4 与 1 交换位置，其余数不动，则该操作称为一个对换,记作为 ,变为 2134 。变换后的逆序数仅有一个，变成了奇排列.由此我们能推广为一个定理：

Tip

对换能改变排列的奇偶性

证明

情景一：先看对换的两个数相邻的情景：对于任意的两个数：

··p······i \;\; j······q··

将对换后:

··p······j \;\; i······q··

显然对任意的和他们对于和的序列情况不变，变的只有和之间的情况。故对换前后的逆序数相差一，从而二者的奇偶性相反。
情景二：对于任意位置的对换，设：之间的个数为 ,即

········i \;\;k_1···k_s\; \;j········

将对换后应该变成如下形式:

········j \;\;k_1···k_s\; \;i········

我们尝试是否能用有限次相邻的对换来得到目标式子：对于初式，我们让 一直和与他右邻的数进行对换，即执行： ,原式变为：

········ k_1···k_s\; \;j\;\;i········

同理，我们再让 一直和与他左邻的数进行对换，即执行： ,原式变为：

········j \;\;k_1···k_s\; \;i········

从初排列一直到目标式子，我们一共经历了次对换，显然是个奇数次，也能够改变它的奇偶性。

Q.E.D

Tip

任一元排列与可以经过一系列的对换互相转变，且所作对换的次数与有相同的奇偶性。

证明

设经过次对换变成了（偶排列）。若是奇排列，则 s 必为奇数。若是偶排列，则 s 必为偶数。

Q.E.D

2.2 阶行列式的定义#

Tip

定义阶行列式为形如：

\begin{vmatrix}a_{11} &a_{12} &··· &a_{1n} \\a_{21} &a_{22} &··· &a_{2n} \\⋮ &⋮ &\ddots &⋮ \\a_{n1} &a_{n2} &··· &a_{nn} \end{vmatrix}:= \sum_{j_1j_2...j_n} (-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}···a_{nj_n}

的数的组合。（表示对的元排列求和）
它是项的代数和，其中等号右侧每一项是不同行，不同列的个元素的乘积，每一项按行指标成自然序（从小到大）排好位置，列指标呈全排列插入。当列指标形成的排列是偶排列时，该项为正；当列指标形成的排列是奇排列时，该项为负.
其中从左上到右下的对角线叫做该行列式的主对角线。

设矩阵 :

A=\begin{pmatrix}a_{11} &a_{12} &··· &a_{1n} \\a_{21} &a_{22} &··· &a_{2n} \\⋮ &⋮ &\ddots &⋮ \\a_{n1} &a_{n2} &··· &a_{nn} \end{pmatrix}

则上述公式也称为 矩阵 A 的行列式，记作或。

2.3 不同的基础行列式#

1 阶行列式：#

|a|=a

2 阶行列式：#

\begin{vmatrix}a_{11} &a_{12} \\a_{21} &a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}

3 阶行列式：#

\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

接下来我们再看一种特殊的阶行列式:

主对角线下方元素全为 0 的行列式，我们称作上三角行列式#

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}\,a_{22}\,a_{33}\,...\,a_{nn}

由于对角线下方的元素都为零，显然所有副对角线上的元素都至少会乘以一个，该项被约，而所有其他的对角线除了主对角线以外同上，所以：

Tip

上三角行列式的值等于它的主对角线上 n 个元素的乘积。

对于一个阶行列式，它的任意一项应为：

(-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}···a_{nj_n}

若将其经过次的两个元素交换位置。它的行指标排列应该经过了次对换，设变成了 .同理，它的列指标排列也应该经过了次对换，设变成了 .所以变换后的原式应为：

a_{i_1k_1}a_{i_2k_2}···a_{i_nk_n}

不过正负性未知，接下来再讨论奇偶性：考虑

(-1)^{τ(i_1i_2...i_n)}=(-1)^s

(-1)^{τ(k_1k_2...k_n)}=(-1)^s(-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}

两式相乘：

(-1)^{τ(k_1k_2...k_n)+τ(i_1i_2...i_n)}=(-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}

故原式为：

(-1)^{τ(k_1k_2...k_n)+τ(i_1i_2...i_n)}a_{i_1k_1}a_{i_2k_2}···a_{i_nk_n}

这说明我们交换某一项的乘积，不影响乘积，但是系数会因为行指标/列指标的奇偶性变化而变化。

特别地，对于级矩阵 ,它的行列式：

|A|= \sum_{i_1i_2...i_n} (-1)^{τ(i_1i_2...i_n)}a_{i_11}a_{i_22}···a_{i_nn}

也就是说，对于级矩阵 ,它的行列式：不论按行序列展开，还是按列序列展开，他们的结果都是一样的。

由此能够引出另一个定义：

2.4 行列式的性质#

Tip

设级矩阵

A=\begin{pmatrix}a_{11} &a_{12} &··· &a_{1n} \\a_{21} &a_{22} &··· &a_{2n} \\⋮ &⋮ &\ddots &⋮ \\a_{n1} &a_{n2} &··· &a_{nn} \end{pmatrix}

把行列互换得到的矩阵

\begin{pmatrix}a_{11} &a_{21} &··· &a_{n1} \\a_{12} &a_{22} &··· &a_{n2} \\⋮ &⋮ &\ddots &⋮ \\a_{1n} &a_{2n} &··· &a_{nn} \end{pmatrix}

称为的转置,记作或或 .

现在我们考虑与之间的关系：

我们将按列指标成自然序排列，就会变成：

|A^T| =\sum_{i_1i_2...i_n} (-1)^{τ(i_1i_2...i_n)}a_{i_11}a_{i_22}···a_{i_nn}=| A|

这其实就是我们最后讨论的情况,由此能够引出行列式的第一性质：

Tip

对于任一行列式，有：

|A^T|=|A|

Tip

若矩阵的第行/列乘上一非零常数变成矩阵，其行列式关系为：

|B|=k|A|

相应地，若某一行（列）的元素有公因子，则可以将提出来，即

行列式有：

|A|=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn} \end{vmatrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ |B| = \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ ka_{i1}& ka_{i2}& \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn} \end{vmatrix}

将这两个行列式展开成累和形式：

|B|= \sum_{j_1j_2...j_n} (-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}···(ka_{ij_i})···a_{nj_n} \\

=k\sum_{j_1j_2...j_n} (-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}···a_{nj_n}\\ =k|A|

Tip

若行列式的第行/列的元素都是两数之和，则有：

\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ b_{i1}+c_{i1}& b_{i2}+c_{i2}& \cdots & b_{in}+c_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ b_{i1}& b_{i2}& \cdots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ c_{i1}& c_{i2}& \cdots & c_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn} \end{vmatrix}

将这行列式展开成累和形式：

|A|= \sum_{j_1j_2...j_n} (-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}···(b_{ij_i}+c_{ij_i})···a_{nj_n} \\

=\sum_{j_1j_2...j_n} (-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}···b_{ij_i}···a_{nj_n}+\sum_{j_1j_2......j_n} (-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}···c_{ij_i}···a_{nj_n}\\

显然得证。

Tip

若将行列式的第行/列与第行/列互换，得到行列式 ,则,

将这行列式展开成累和形式：

|C|= \sum_{j_1...j_i...j_k...j_n} (-1)^{τ(j_1...j_i...j_k...j_n)}a_{1j_1}···a_{kj_i}···a_{ij_k}···a_{nj_n} \\

= \sum_{j_1...j_i...j_k...j_n} (-1)·(-1)^{τ(j_1...j_k...j_i...j_n)}a_{1j_1}···a_{ij_k}···a_{kj_i}···a_{nj_n} \\ =-|A|

Tip

若将行列式的任意两行/列成比例/相等，则行列式的值为

Tip

若将行列式第行/列的倍加到第行/列，变成行列式 ,则

证明略。

2.5 余子式/代数余子式#

我们回来看三阶行列式

|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

我们尝试将展开式的所有带第一行的元素合并起来，有：

|A| =a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})-a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})

=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} &a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}

惊讶地发现，我们通过将三阶行列式按行展开，成功地将行列式降阶为了几个二阶的行列式，这每一个行列式称作其前方元素的余子式.常记作。例如

M_{11}=\begin{vmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

就是的余子式。而通过上式，我们发现余子式是存在正负区别的，行标加列标是偶数的就是正，反之是负，带上正负关系的余子式叫做代数余子式，记作。原式等价于：

|A| =a_{11}A_{11}-a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}

既然三阶行列式有这种定义，我们尝试将它推广到阶行列式的情况:

Tip

设级矩阵

A=\begin{pmatrix}a_{11} &a_{12} &··· &a_{1n} \\a_{21} &a_{22} &··· &a_{2n} \\⋮ &⋮ &\ddots &⋮ \\a_{n1} &a_{n2} &··· &a_{nn} \end{pmatrix}

我们划去矩阵的（第行第列）的元所在的第行第列。剩余的元素按照原来的顺序构成一个阶行列式,该行列式称为元的 余子式 ，记作。带上正负关系的余子式叫做元的 代数余子式 ，记作

同理，我们继续寻找原行列式与余子式的关系：

Tip

级矩阵的行列式存在如下关系：

|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}

其中

证明

取定的第行：

|A|=\sum_{j}^{n}a_{ij}A_{ij}

先略

按行展开有定理四，我们当然要考虑按列展开，理应有同样的效益

Tip

级矩阵的行列式存在如下关系：

|A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}

其中

证明

通过定理四的证明做转置即得证。

Tip

级矩阵的行列式存在如下关系： 当时：

|A|=a_{i_1}A_{k_1}+a_{i_2}A_{k_2}+...+a_{i_n}A_{k_n}=0

Tip

级矩阵的行列式存在如下关系： 当时：

|A|=a_{1j}A_{1l}+a_{2j}A_{2l}+...+a_{nj}A_{nl}=0

2.5.5 范德蒙德行列式#

下面看一道例题,求行列式：

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{1}^2 & a_{2}^2 & a_{3}^2 \end{vmatrix}

我们尝试将他按第一行展开，先让第一列剩余元素变成：

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{1}^2 & a_{2}^2 & a_{3}^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 0 & a_{2}^2-a_{1}a_{2} & a_{3}^2-a_{1}a_{3} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a_{2}-a_{1} & a_{3}-a_{1} \\ 0 & a_{2}^2-a_{1}a_{2} & a_{3}^2-a_{1}a_{3} \end{vmatrix}

= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a_{2}-a_{1} & a_{3}-a_{1} \\ 0 & a_{2}(a_{2}-a_{1}) & a_{3}(a_{3}-a_{1}) \end{vmatrix}=(a_{2}-a_{1})(a_{3}-a_{1})\begin{vmatrix}1 & 1\\a_3 &a_2 \end{vmatrix}

=(a_{2}-a_{1})(a_{3}-a_{1})(a_{3}-a_{2})

这一类十分经典的行列式叫做范德蒙德行列式.

Tip

在线性代数中, 范德蒙德矩阵（Vandermonde matrix）是一个各行(row)呈现出“几何级数”关系的矩阵，得名于亚历山大‑泰奥菲尔·范德蒙德。我们尝试将其推广至阶的形式：

V =V_{(a_0,a_1...a_n)}= \begin{bmatrix} 1& 1& \cdots & 1 \\ a_{1}& a_{2}& \cdots & a_{n} \\ a_{1}^2& a_{2}^2& \cdots & a_{n}^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1}^{n-1}& a_{2}^{n-1}& \cdots & a_{n}^{n-1} \end{bmatrix}

由三阶的经验，我们同样猜测它的结果为：

\begin{array}{c} (a_2-a_1)(a_3-a_1)(a_4-a_1)...(a_n-a_1) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,·(a_3-a_2)(a_4-a_2)...(a_n-a_2) \\ ... \\ \qquad\qquad\qquad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\;·(a_n-a_{n-1}) \\ \end{array}

=\prod_{1\le j<i\le n}^{} (a_i-a_j)

证明

利用数学归纳法，跟方才尝试将第一列剩余的元素全部化为，即将第行的元素乘第二行然后减到第行上，一下子就能解出来。

2.6 线性方程组解与行列式的关系#

通过上面的铺垫，我们终于可以讨论线性方程组解与行列式的关系了。现在讨论在数域上个方程组的元线性方程组存在唯一解的充分必要条件。

我们依旧是从增广矩阵出发:

增广矩阵经过初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵记作同理：系数矩阵经过上述初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵记作
方程组无解，则一定会出现 “ ” 类似的方程，有非零行，由此也能知道有零行，所以。
方程组有无穷多解，则非零行的数目，能知道一定有零行，由此也能知道也一定有零行，*所以。 * 方程组有唯一解，则非零行的数目，能知道每一行都是非零行，由此也能知道每一行也一定都是非零行，即有个主元:

J=\begin{pmatrix} c_{11}&c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ 0 &c_{22}&\cdots&c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 0 &0 & \cdots & c_{nn} \end{pmatrix}

其中
由于 J 是一个上三角矩阵，可知
又由于 , 故等价于

综上：

Tip

在数域上个方程组的元线性方程组:

方程组无解，则。

方程组有无穷多解，则。

方程组有唯一解，则

Tip

在数域上个方程组的元齐次线性方程组:

方程组只有 0 这一个解，则它的系数矩阵的行列式。

从而方程组有非 0 解，则它的系数矩阵的行列式。

以上性质，是我们津津乐道的克莱姆法则的第一部分

2.7 克莱姆法则#

克莱姆法则或克莱姆法则（英语：Cramer’s rule / formula）是一个线性代数中的定理，用行列式来计算出线性等式组中的所有解。这个定理因加百列·克莱姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。

在计算上，并非最有效率之法，因而在很多条等式的情况中没有广泛应用。不过，这一定理在理论性方面十分有效。

先略，等第四章

2.8 行列式的几何性质#

我们先看二阶行列式：

\begin{vmatrix}a_1 &b_1 \\a_2 &b_2 \end{vmatrix}

它表示坐标分别为：和的向量围成的平行四边形的定向面积.

如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当以原点为不动点将逆时针“转到处时，扫过的地方在平行四边形里，否则的话面积就是负的。

再看三阶行列式：

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

它表示坐标分别为： , 和的向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。

三维空间中有向体积的定义要比二维空间中复杂，一般是根据右手定则来约定。

2.9 行列式的子式#

对级矩阵，取定行，即第行，（其中），再取定列，即第列，（其中），这行和列交叉出的那个元素按照原来的排法形成一个阶行列式，称为的一个 k 阶子式，记作：

A\begin{pmatrix}i_1 & i_2 &... &i_k \\j_1 & j_2 &... &j_k\end{pmatrix}

而如果划去上述上述行和列，剩余的元素按照原来的排法形成一个阶行列式，称为上述子式的一个k 阶余子式。

设为矩阵剩余的行，（其中：）。为矩阵剩余的列，（其中：）。则上述子式的余子式其实也是的一个 n - k 阶子式：

A\begin{pmatrix}i_1^{'} & i_2^{'} &... &i_{n-k}^{'} \\j_1^{'} & j_2^{'} &... &j_{n-k}^{'}\end{pmatrix}

由代数余子式的定义，其相应的代数余子式也可以写作：

(-1)^{(i_1+i_2+...+i_k)+(j_1+j_2+...+j_k)}A\begin{pmatrix}i_1^{'} & i_2^{'} &... &i_{n-k}^{'} \\j_1^{'} & j_2^{'} &... &j_{n-k}^{'}\end{pmatrix}

2.10 行列式按行列展开#

对级矩阵，取定行，即第行，（其中），则等于这 k 行形成的所有 k 阶子式跟他自己的代数余子式的乘积之和。这个定理就是大名鼎鼎的拉普拉斯展开 / 拉普拉斯定理

证明

我们把第行的元素放在第一个位置，第行的元素放在第二个位置，以此类推，第行的元素放在第个位置。有：

a_{i_1,u_1}\;a_{i_2,u_2}\;...\;a_{i_k,u_k}

同理把剩余的第行放在他们的后面：

a_{i_1,u_1}\;a_{i_2,u_2}\;...\;a_{i_k,u_k}\;a_{i_1^{'},v_1}\;a_{i_2^{'},v_2}\;...\;a_{i_{n-k}^{'},v_{n-k}}

由于，所以对于而言，之后有个和它本身逆序的数对。之后有个和它本身逆序的数对… 之后有个和它本身逆序的数对。后面的都是顺序，无逆序排列。
对于列指标，按照行列式本身的定义即可，所以我们就有如下公式：

|A| = \sum_{u_1...u_kv_1...v_{n-k}}^{} (-1)^{(i_1-1)+(i_2-2)+...+(i_k-k)+τ(u_1...u_kv_1...v_{n-k})}a_{i_1,u_1}a_{i_2,u_2}...a_{i_k,u_k}a_{i_1^{'},v_1}a_{i_2^{'},v_2}...a_{i_{n-k}^{'},v_{n-k}}

作为列指标在当中取值，作为列指标在当中取值;之前上式就等于：

\sum_{1＜j_1＜j_2＜...＜j_k≤n}^{} \sum_{u_1\;u_2\;...\;u_k对j_1，j_2，...，j_k的k元排列求和}^{} \sum_{v_1\;v_2\;...\;v_k对j_1^{'}，j_2^{'}，...，j_{n-k}^{'}的n-k元排列求和}^{}

·(-1)^{(i_1+i_2+...+i_k)-\frac{k(k+1)}{2}}(-1)^{(j_1+j_2+...+j_k)-\frac{k(k+1)}{2} + τ(v_1...v_{n-k})}

·a_{i_1,u_1}a_{i_2,u_2}...a_{i_k,u_k}a_{i_1^{'},v_1}a_{i_2^{'},v_2}...a_{i_{n-k}^{'},v_{n-k}}

=\sum_{1\le j_1<...<j_k\le n}^{} (-1)^{(i_1+...+i_k)+(j_1+...+j_k)}\sum_{u_1...u_k}^{}(-1)^{τ(u_1...u_k)} a_{i_1,u_1}a_{i_2,u_2}...a_{i_k,u_k}\sum_{v_1...v_{n-k}}^{}(-1)^{v_1...v_{n-k}}a_{i_1^{'},v_1}a_{i_2^{'},v_2}...a_{i_{n-k}^{'},v_{n-k}}

=\sum_{1＜j_1＜j_2＜...＜j_k≤n}^{}(-1)^{(i_1+...+i_k)+(j_1+...+j_k)}A\begin{pmatrix}i_1 &... &i_k \\j_1 &... &j_k \end{pmatrix}A\begin{pmatrix}i_1^{'} &... &i_k^{'} \\j_1^{'} &... &j_k^{'} \end{pmatrix}

Q.E.D

2.10.1 范德蒙德定理应用#

我们来看这样一个行列式：

\begin{vmatrix}a_{11} &\cdots &a_{1k} &0 &\cdots &0 \\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1} &\cdots &a_{kk} &0 &\cdots &0 \\c_{11} &\cdots &c_{1k} &b_{11} &\cdots &b_{1t} \\\vdots & &\vdots &\vdots & &\vdots \\c_{k1} &\cdots &c_{kk} &b_{t1} &\cdots &b_{tt} \end{vmatrix}

将它按前行展开，有:

\begin{vmatrix}a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1k} \\a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2k} \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1} &a_{k2} &\cdots &a_{kk} \end{vmatrix}\begin{vmatrix}b_{11} &b_{12} &\cdots &b_{1t} \\b_{21} &b_{22} &\cdots &b_{2t} \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{t1} &b_{t2} &\cdots &b_{tt} \end{vmatrix}

以上规律，我们可以记成：

{\Huge \begin{vmatrix}A &O \\C &B \end{vmatrix}=|A||B|}

4.1.行列式

1.引入#

2. 阶行列式#

2.1 预备知识#

元排序#

2.2 阶行列式的定义#

2.3 不同的基础行列式#

1 阶行列式：#

2 阶行列式：#

3 阶行列式：#

主对角线下方元素全为 0 的行列式，我们称作上三角行列式#

2.4 行列式的性质#

2.5 余子式/代数余子式#

2.5.5 范德蒙德行列式#

2.6 线性方程组解与行列式的关系#

2.7 克莱姆法则#

2.8 行列式的几何性质#

2.9 行列式的子式#

2.10 行列式按行列展开#

2.10.1 范德蒙德定理应用#

评论区

音乐

4.1.行列式

1.引入#

2. 阶行列式#

2.1 预备知识#

元排序#

2.2 阶行列式的定义#

2.3 不同的基础行列式#

1 阶行列式：#

2 阶行列式：#

3 阶行列式：#

主对角线下方元素全为 0 的行列式，我们称作上三角行列式#

2.4 行列式的性质#

2.5 余子式/代数余子式#

2.5.5 范德蒙德行列式#

2.6 线性方程组解与行列式的关系#

2.7 克莱姆法则#

2.8 行列式的几何性质#

2.9 行列式的子式#

2.10 行列式按 行 列展开#

2.10.1 范德蒙德定理应用#

相关文章

评论区

音乐

2.10 行列式按行列展开#